Срешением неравенств ( x - 5 ) ^ 2 / x - 4 < 0 log4x > 1 (x - 4)(x -2) < 0

-x+1<-1
x>2

(x-5)^2/(x-4)<0
x∈(-∞;4)

log_4(x)>1
x>4

(x-4)(x-2)<0
x∈(2;4)

Есть формула

Но напрямую я её использовать не очень люблю.

Проще использовать такой подход (он, конечно, на формуле основан)

1. "Разрезать" функцию на 2 части: одну, которую будем дифференцировать, а другую - интегрировать. Понятно, что это разбиение часто основывается на том, какую функцию проще интегрировать, так как продифференцировать можно любую (но иногда, как во 2-м примере, будем смотреть, какую функцию лучше дифференцировать).

2. В столбик написать обе получившиеся функции (ту, которую интегрируем, с дифференциалом запишем, естественно). Отчертить большой чертой и справа напротив каждой функции написать результат того, что мы с ней делаем (в одном случае результат интегрирования, а в другом дифференцирования).

3. А дальше итоговый интеграл будет равен "функция на функцию" (это будет крест накрест, где нет дифференциалов) минус интеграл от произведения функций справа.

Попробую на примере показать:

а) есть интеграл

Здесь удобнее интегрировать логарифм, а дифференцировать

Ну вот как-то так. И теперь сам интеграл:

Надеюсь, что стало понятнее.

б) здесь придется интеграл по частям брать аж 2 раза, но ничего страшного, возьмем.

Сам интеграл

Здесь понятно, что тригонометрия будет давать тригонометрию что при интегрировании, что при дифференцировании, а вот многочлен уже при втором дифференцировании даст константу, так что его и будем дифференцировать.

Надо лишь решить ещё один интеграл, причем абсолютно так же.

Ну и соберем все теперь:

В обоих случаях нужно делать замену переменной.

Что тут можно предпринять? Известно, , вот и сделаем замену

Вообще идеально, получим простейший интеграл. Так как это определенный интеграл, то обратную замену можно не делать, а просто пересчитать пределы по самой замененной функции

То есть пределы станут:

А теперь сам интеграл

Теперь следующий интеграл:

Что можно такого заменить? Попробуем взять корень, его производная даст тот же корень в знаменателе, да и сам вполне нормально выражается, делаем:

Заодно сразу новые пределы посчитаем:

То есть

Теперь подставляем и смотрим, что получается:

Можно, конечно, было и получить неопределенный интеграл и в него подставить старые пределы, но пересчет на новые позволяет не совершать часть действий