(15 кв. корень из 50 + 5 кв. корень из 200 - 3 кв. корень из 450 ) : кв. корень из 10

50 представляем как 25•2

200 представляем как
2•100

450 представляем как
225•2

Выносим 25,100,225 из-под корня. Умножаем на коэффициенты, которые есть перед корнями(15,5,-3)соответственно . Получим:
75 корень из 2, + 50 корень из 2, минус 45 корень из 2, и делить на корень из 10
Складываем корни. Получаем(75+50-45)=80 корней из 2
Представляем корень из 10 как произведение корня из 5 на корень из 2, сокращаем корень из 2 в числителе и знаменателе . Осталось выражение :

80/корень из 5

Избавляемся от иррациональности в знаменателе :
Умножаем числитель со знаменателем на корень из 5,получаем:
80 корней из 5 разделить на 5, сокращаем 80 и 5, получаем 16 корней из 5

ответ: 16 корней из 5

Условное обозначение: х^2 - икс в квадрате
1) Пусть х (см) - ширина прямоугольника, тогда х + 6 (см) - длина
х * (х + 6) = х^2 + 6х (кв.см) - площадь прямоугольника;
2) х + 6 - 2 = х + 4 (см) - довжину зменшили на 2 см
х - 10 (см) - ширину зменшили на 10 см
(х + 4) * (х - 10) = х^2 + 4х - 10х - 40 (кв.см) - уменьшенная площадь прямоугольника
3) Уравнение: х^2 + 6x - (x^2 + 4x - 10x - 40) = 184
                         x^2 + 6x - x^2 - 4x + 10x + 40 = 184
                         12x = 184 - 40
                         12x = 144
                          х = 144 : 12
                          х = 12 (см) - початковая ширина
                          12 + 6 = 18 (см) - початковая довжина
Вiдповiдь: 18 см и 12см.

Проверка: 18 * 12 = 216 кв.см - початковая площадь прямоугольника
                  (18 - 2) * (12 - 10) = 16 * 2 = 32 кв.см - уменьшенная площадь
                  216 - 32 = 184 кв.см - на столько меньше

Начиная с какого номера члены геометрической прогрессии
1) 32,16,8, ... меньше 0,01

b1=32 q=1/2  bn=b1·q^(n-1)    b1·q^(n-1)<1/100   32·(1/2  )^(n-1)<1/100

2^(5-n+1)<1/100
6-n<log ₂(1/100)           n>6-log ₂(1/100)  n>6+log ₂(100)   n>6+2log ₂(10)

3<log ₂(10)<4  (2³=8;  2⁴=16)     n>6+2(3)  n>12

2) 1/3 , 2/3, 4/3, ... больше 50?

b1=1/3   q=2    bn=b1q^(n-1)>50    (1/3)·2^(n-1)>50   2^(n-1)>150  

n-1>log₂150   n>1+log₂150    7<log₂150 <8   ⇒n>1+7