Розкласти квадратний тричлен на множники 3х²-24х+3

Формула разложения: ax² + bx+ c = a ( x –  x1 ) ( x –  x2 )
Формула дискриминанта: b²-4ac, x=
Решаем:
3х²-24х+3=0
D=576-4*3*3=576-36=540  √540

3х²-24х+3 = 3 (х - )(х - )

при n=1:5^n -2^n=5-2=3 на 9 нацело неделится

при n=2: 5^2-2^2=25-4=21 на 9 нацело не делится

при n=3:5^3-2^3=125-8=117 делится на 9

 

а дальше используем такой факт, остаток от деления произведения на число равен остатку от произведения остатков от деления каждого из множителей на єто число

разбивая 5^n на 5^3*5^3*5^3* последний множитель либо 5 (остаток 5), либо 25 (остаток 7) либо 125 (остаток 8)

 

2^n на 2^3*2^3*2^3* последний множитель либо 2 (остаток 2), либо 4 (остаток 4) либо 8 (остаток 8)

таким образом если число n делится на 3, то последний из остатков 8 и 8, их разность 8-8=0 и число делится на 9, иначе разности остатков будут 5-2=3 и 7-4=3

 

т.е. чтобы разность 5^n -2^n делилась на 9 необходимо и достаточно^

чтобы n=3k, k є N (к- любое натуральное число, т.е. 1,2,3,4,5 ...)

ответ: n=3k, k є N

Область определения функции х≠(π/2)+πk, k∈ Z.

На [-π/4;0]  таких точек нет, функция определена во всех точках            указанного отрезка.
Находим y`:
y`=(7/cos²x)-7.
Находим точки возможных экстремумов: точки, в которых производная обращается в 0 или не существует.
y` не существует в точках  (π/2)+πk, k∈ Z.
y`=0
(7/cos²x)-7=0;
(7-7cos²x)/cos²x=0;
7-7cos²x=0
7(1-cos²x)=0
7sin²x=0
sinx=0
x=πn, n∈ Z.
Указанному отрезку принадлежит одна точка х=0, но она является крайней правой точкой.
На [-π/4;0] y`=7sin²x/cos²x=7tg²x>0 ⇒ функция возрастает на указанном отрезке и наибольшее значение принимает в крайней правой точке,
 т. е.  при х=0.
у(0)=7·tg(0) - 7·0+5=5.
О т в е т.у= 5 - наибольшее значение функции на [-π/4;0]