Решить 10 класс. учитель сказал нужно решить через прогрессию. 0, (7) и 3, (18)

1) 0.(7)
Представим это в виде суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
0.(7)=0.7+0.07+0.007+...
Здесь первый член равен b1=0.7, знаменатель q=0.1.
Тогда сумма прогрессии равна S=b1/(1-q)=0.7/(1-0.1)=0.7/0.9=7/9
2) 3.(18)=3 + 0.(18)
0.(18) = 0.18 + 0.0018 + 0.000018 +
b1=0.18, q=0.01
Тогда S=b1/(1-q)=0.18/(1-0.01)=0.18/0.99=18/99=2/11
 То есть 3.(18)=3+2/11=35/11

0,(7)  =  0,7777777... =  0,7 + 0,007 + 0,0007 + 0,00007 + ..... 
Очевидно, что слагаемые  в  сумме составляют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию  с первым членом  0,7  и знаменателем 0,1.

Тогда по формуле нахождения суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии:



3,(18) = 3 + 0,(18) = 3 + 0,18 + 0,0018 + 0,000018 + 0,00000018 + ...
Слагаемые  в  сумме, начиная со второго слагаемого, составляют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию  с первым членом  0,18  и знаменателем 0,01.

Тогда по формуле нахождения суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии:

Позначимо довжину прямокутника як "а" см, а ширину як "b" см.

За умовою, маємо:

а * b = 900 (1)

Після зміни розмірів прямокутника, отримуємо нову площу 1200 см2:

(а + 30) * (b - 10) = 1200 (2)

Розкриваємо дужки у рівнянні (2):

а * b + 30b - 10а - 300 = 1200

Замінюємо за до рівняння (1):

900 + 30b - 10а - 300 = 1200

Перегруповуємо та спрощуємо рівняння:

30b - 10а = 600 (3)

Тепер маємо систему двох рівнянь (1) і (3):

а * b = 900

30b - 10а = 600

Можемо використати метод підстановок або метод елімінації Гауса для розв'язання цієї системи рівнянь. Використаємо метод елімінації Гауса:

Множимо рівняння (1) на 10:

10а * b = 9000 (4)

Потім множимо рівняння (3) на 9:

270b - 90а = 5400 (5)

Прибавляємо рівняння (4) до рівняння (5):

10а * b + 270b - 90а = 9000 + 5400

180b = 14400

b = 14400 / 180

b = 80

Підставляємо значення b в рівняння (1):

а * 80 = 900

а = 900 / 80

а = 11.25

Отже, сторони прямокутника дорівнюють 11.25 см і 80 см.

Позначимо швидкість другого теплохода як x км/год. Тоді швидкість першого теплохода буде (x + 5) км/год.

За формулою швидкість = відстань / час, можемо записати наступні рівняння:

Для першого теплохода:
відстань = швидкість * час
50 км = (x + 5) км/год * 2 год

Для другого теплохода:
відстань = швидкість * час
50 км = x км/год * 2 год

Зведемо рівняння до однієї змінної:

2(x + 5) = x
2x + 10 = x
x = 10

Отже, швидкість другого теплохода дорівнює 10 км/год, а швидкість першого теплохода дорівнює (10 + 5) = 15 км/год.

Таким чином, швидкість першого теплохода становить 15 км/год, а швидкість другого теплохода - 10 км/год.