Найти все пары натуральных чисел (х; у) удовлетворяющих уравнению 2ху+3у^2=24

Переменная х будет натуральным числом, если  у  является делителем числа 12 , т.к. дробь 12/у должна давать натуральное число. Кроме того, у должно делиться на 2, то есть у -чётное число, т.к. в этом случае дробь (3у)/2 будет давать натуральное число .
В таком случае ищем  у  среди чисел 2 , 4 , 6 , 12 .



ответ:  (3,2) .

3y^2 < 2xy+3y^2 = 24,
3y^2<24,
y^2<24/3 = 8,
y< ,
кроме того, x и y натуральные, поэтому x>=1 и y>=1.
1<=y< ,

(докажем это строго, т.к. обе части этого неравенства положительны, а квадрат - это строго возрастающая функция на положительной полуоси, то
, <=> , верное неравенство, значит и исходное неравенство в силу равносильности тоже верное)
1<=y<2,9;
Возможные варианты только y=1 или y=2.
1) y=1, подставляем это в исходное уравнение, получаем
2x+ 3 = 24, <=> 2x=24-3 = 21, <=> x = 21/2, и икс не является натуральным. Поэтому случай y=1 не годится.
2) y=2, подставляем в исходное уравнение,
2x*2 + 3*(2^2) = 24, <=> 4x+12 = 24, <=> 4x=24-12 = 12, <=> x=12/4 = 3.
ответ. x=3 и y=2.

За х возьмем колво вопросов в тесте и у димы и у саши. Допустим,что саша решает за у минут свой тест, т.к дима решает быстрее,то соответственно время его будет меньше на 75 минут, чем сашино,чтобы прировнять их время, нужно к у прибавить 75 минут и получится время димы. Затем составим два уравнения. Дима за у+75 часов решает х вопросов,по 12 вопросов в час.уравнение: 12*(у+75)=х, а Саша за у часов по 22 вопроса в час решает х вопросов: 22*у=х. Т.к левая часть одинаковая,то прировняем правые части: 12*(у+75)=22*у. > 12у+900=22у > 900=22у-12у > 900=10у > у= 90. Т. Е 90 минут (1,5 часа) на тест тратит Дима. Саша на 75 минут больше,т.е 165 минут(2,75 часа). Подставляем либо в первое либо во второе уравнение значение у получаем: 22*1,5=х. Х=33 вопроса

 Выражение: 12*x*(x-8)-4*x*(3*x-5)=10-26*xответ: -50*x-10=0Решаем по действиям:
1. 12*(x-8)=12*x-96
  12*(x-8)=12*x-12*8
  1.1. 12*8=96
      X12
       _ _8_
       96
2. (12*x-96)*x=12*x^2-96*x
  (12*x-96)*x=12*x*x-96*x
  2.1. x*x=x^2
      x*x=x^(1+1)
    2.1.1. 1+1=2
          +1
           _1_
           2
3. 4*(3*x-5)=12*x-20
  4*(3*x-5)=4*3*x-4*5
  3.1. 4*3=12
      X4
       _3_
      12
  3.2. 4*5=20
      X4
       _5_
      20
4. (12*x-20)*x=12*x^2-20*x
  (12*x-20)*x=12*x*x-20*x
  4.1. x*x=x^2
      x*x=x^(1+1)
    4.1.1. 1+1=2
          +1
           _1_
           2
5. 12*x^2-96*x-(12*x^2-20*x)=12*x^2-96*x-12*x^2+20*x
6. 12*x^2-12*x^2=0
7. -96*x+20*x=-76*x
8. -76*x+26*x=-50*xРешаем по шагам:
1. (12*x-96)*x-4*x*(3*x-5)-10+26*x=0
  1.1. 12*(x-8)=12*x-96
      12*(x-8)=12*x-12*8
    1.1.1. 12*8=96
          X12
           _ _8_
           96
2. 12*x^2-96*x-4*x*(3*x-5)-10+26*x=0
  2.1. (12*x-96)*x=12*x^2-96*x
      (12*x-96)*x=12*x*x-96*x
    2.1.1. x*x=x^2
          x*x=x^(1+1)
      2.1.1.1. 1+1=2
              +1
               _1_
               2
3. 12*x^2-96*x-(12*x-20)*x-10+26*x=0
  3.1. 4*(3*x-5)=12*x-20
      4*(3*x-5)=4*3*x-4*5
    3.1.1. 4*3=12
          X4
           _3_
          12
    3.1.2. 4*5=20
          X4
           _5_
          20
4. 12*x^2-96*x-(12*x^2-20*x)-10+26*x=0
  4.1. (12*x-20)*x=12*x^2-20*x
      (12*x-20)*x=12*x*x-20*x
    4.1.1. x*x=x^2
          x*x=x^(1+1)
      4.1.1.1. 1+1=2
              +1
               _1_
               2
5. 12*x^2-96*x-12*x^2+20*x-10+26*x=0
  5.1. 12*x^2-96*x-(12*x^2-20*x)=12*x^2-96*x-12*x^2+20*x
6. -96*x+20*x-10+26*x=0
  6.1. 12*x^2-12*x^2=0
7. -76*x-10+26*x=0
  7.1. -96*x+20*x=-76*x
8. -50*x-10=0
  8.1. -76*x+26*x=-50*x
Решаем уравнение -50*x-10=0:
Тестовая функция, правильность не гарантируется
Решаем относительно x:
x=-10/50=-0.2.