11 класс. найдите критические точки функции f(x)=2x-√x. какие из этих точек - точки максимума функции, а какие - точки минимума?

Задана функция 

Область определения функции: 

Найдем производную функции:


Приравниваем функцию к нулю и находим критические точки



Критические точки 

[0]___-___(1/16)___+_____

 - Точка минимума, а точки максимума - нет.

16 деталей в час и 14 деталей в час.

Объяснение:

Пусть первый работник изготавливает х деталей в час, тогда по условию второй изготавливает (х - 2) детали час.

Время работы первого рабочего - 96/х часов, время работы второго - 112/(х - 2) часов.

Зная, что первый работал на 2 часа меньше, чем второй, составим и решим уравнение:

112/(х - 2) - 96/х = 2

56/(х - 2) - 48/х = 1

Домножим обе части равенства на х(х -2), отличное от 0, получим:

56х - 48(х - 2) = х(х - 2)

56х - 48х + 96 = х^2 - 2х

х ^2 - 10х - 96 = 0

х1 = 16

х2 = -6<0, не удовлетворяет условию.

16 деталей в час изготавливал первый рабочий.

16 - 2 = 14 (дет./ч) изготавливал второй рабочий.

ответ: 16 деталей в час и 14 деталей в час.

Проверим полученный результат:

96 : 16 = 6 (ч) работал 1-ый.

112 : 14 = 8 (ч) работал 2-ой

8-6=2 (ч) - верно.

Можно попробовать разбить на систему неравенств:
1/3≤(x^2-x+1)/(x^2+x+1) и  
(x^2-x+1)/(x^2+x+1)≥3
после приведения к общему знаменателю, переносу в левую часть и упрощения получаем:
(x-1)^2/(3(x^2+x+1))≥0 и
-(x+1)^2/(x^2+x+1)≤0
далее рассуждаем: первое неравенство- дробь больше или равна нулю в двух случаях, когда числитель больше или равен нулю, знаменатель больше нуля и когда числитель меньше или равен нулю и знаменатель меньше нуля. В нашем случае, независимо от значений x, числитель больше или равен нулю, знаменатель всегда строго больше нуля. Следовательно данная дробь всегда положительна.
Аналогичные рассуждения со второй дробью. Она всегда отрицательна или равна нулю- числитель при любых x отрицательный, а при x=-1 равен нулю. А знаменатель всегда положительный. 
Следовательно выполняется указанное двойное неравенство. ч.т.д.