Третий член возрастающей арифметической прогрессии равен 4, а произведение второго и шестого членов на 5 больше произведения первого и седьмого членов. найдите седьмой член прогрессии

A3=4
a2*a6-a1*a7=5
{a1+2d=4⇒a1=4-2d
(a1+d)(a1+5d)-a1(a1+6d)=5⇒(4-d)(4+3d)-(4-2d)(4+4d)=5
16+12a-4a-3d²-16-16a+8d+8d²=5
5d²=5
d²=1
d=-1 не удов усл
d=1
a1=4-2
a1=2
a7=a1+6d
a7=2+6
a7=8

(см. объяснение)

Объяснение:

Наименьшее значение, которое может принимать левая часть рано 8.

Наибольшее значение, которое может принимать правая часть равно 8.

Значит исходное равенство становится верным, если имеем .

Тогда перейдем к системе уравнений:

Понятно, что вторая ее строчка решается несложно:

Поработаем теперь с первой:

Введем замену вида .

Тогда уравнение выше можно переписать:

Один из корней очевиден и равен .

Понятно, что при уравнение не имеет корней.

Выполним теперь обратную замену:

Тогда ответом будет:

Задание выполнено!

Четыре числа образуют геометрическую прогрессию. Если к ним добавить соответственно 3, 11, 7 и 15, тогда получим четыре числа, образующих арифметическую прогрессию. Найдите эти числа.

ответ: q  = -7/6 ;

b₁ = 432 /169 ; b₂= - 504 /169 ; b₃= 588/169 ; b₄=  - 686/169

Объяснение: b₁ ; b₂ ; b₃; b₄     || b₁≡ b ||      b;  bq ; bq² ; bq³

b+3 ; bq+11 ; bq²+7 ; bq³+15 составляют арифметическую прогрессию

{2(bq+11) =b+3+ bq²+7             { b(q-1)² =12

{2(bq²+7) =bq+11 +bq³+15        { bq(q-1)² = -14     разделим 2 -ое уравнение

системы на 1-ое   ⇒ q  = -7/6 ;   затем  из первого уравнения системы

b = 12 / (q-1)² = 12 / (-7/6-1)²= 12 / (-13/6)² = 12*6²/13² = 432 /169

b₁≡ b =432 /169

b₂=b*q =(432/169 )*(-7/6) =  - 504 /169 ;

b₃=b*q² =(432/169 )*(-7/6)² = 588/169 ;

b₄ =bq³ =(432/169)*(-7/6)³ = - 686/169 .