Решите формулой сокращенного умножения 68*70

ответ ответ ответ ответ ответ ответ

-7, -5, -3... Найти S50 = ?
a1 = -7, a2 = -5 (a1 и a2 - члены арифметической прогрессии)
Формулы, которые нам понадобятся:
1. - сумма арифметической пр.
2. - формула n-ого члена
3. - разность

Начнём с конца (т.е. с (3))

d = -5 - (-7) = -5 + 7 = 2

Т.к. у нас надо найти сумму ПЯТИДЕСЯТИ членов прогрессии, то n=50
По формуле (2) высчитываем an

an = a1 + (n-1) * d = -7 + (49 * 2) = -7 + 98 = 91

Теперь можно смело находить сумму 50 первых членов арифметической прогрессии (формула (1))

S50 = a1 + an * n / 2 = -7 + 91 * 50 / 2 = 84 * 25 = 2100 (сократили 50 и 2, поэтому на 25)

ответ: 

Простыми преобразованиями эту задачу не решить, будем использовать арифметику остатков.

1-ое свойство, которое понадобится

То есть мы спокойно можем заменить каждое слагаемое сравнимым с ним по модулю m. То есть каждое слагаемое в нашей сумме будем рассматривать отдельно.

2-ое свойство, которое нам понадобится:

То есть довольно аналогичная вещь в произведении

На нашем примере все увидим

Находим остатки по модулю 31

Рассматриваем первое слагаемое. Просто двойка не годится, нам нужно найти ближайшее к 31 число, превосходящее его (иногда там в отрицательные числа залезаем, например, , но сейчас это не нужно), нам повезло, это 32

Учитываем, что , получаем

То есть остаток от деления первого слагаемое на 31 получился равным 10. Прекрасно, аналогично со вторым

Остаток 21, чудесно. Выполняем последний шаг.

То есть остаток от деления исходного числа на 31 равен 0, следовательно, исходное число делится на 31, что и требовалось доказать.