Представьте в виде дроби 5х+10\х-1*х^2-1\x^2-4

Спешу на

1. Позначимо більше число - х, а менше - y. Тоді:

{x+y=205; x-y=23

Розв'яжемо методом додавання:

2x=228

x=114

Підставимо значення х у друге рівняння:

114-y=23

y=114-23=91

Відповідь: перше число - 114, друге - 91.

2. Позначимо 1 кг апельсинів х, а 1 кг лимонів - y. Тоді:

{7x+4y=350; 5x-2y=80

Помножимо друге рівняння на 2 та розв'яжемо систему методом додавання:

{7х+4y=350; 10х-4y=160

17x=510

x=30 (грн)

Підставимо значення х у друге рівняння:

5×30-2у=80

150-2y=80

2y=70

y=35 (грн)

Відповідь: 1 кг апельсинів коштує 30 грн, а 1 кг лимонів - 35 грн.

3. Позначимо 1 год праці на першому стінку х, а 1 год праці на другому - y. Тоді:

{8x+8y=2000; 2x+3y=630

Поділимо перше рівняння на -4 та розв'яжемо систему методом додавання:

{-2x-2y=-500; 2x+3y=630

y=130 (деталей)

Підставимо значення y у друге рівняння:

2x+3×130=630

2x+390=630

2x=240

x=120 (деталей)

Відповідь: перший станок за 1 год виготовляє 120 деталей, а другий за 1 год - 130 деталей.

ответ:  S(n)= ((3a-1)*(4^n-1) +3n)/9

             S(5)= 58.5  (при  a=0.5)

Объяснение:

Можно решать в лоб и просто найти и сложить все 5 членов.

Используя рекуррентное соотношение: a(n+1)=4*a(n)-1, найдем все  все 5 членов:

a(1)=0.5

a(2)=4*0.5-1=1

a(3)=4*1-1=3

a(4)=4*3-1=11

a(5)=4*11-1=43

S(5)=0.5+1+3+11+43=58.5

Но  мы решим эту задачу в общем виде.

Cначало попробуем найти формулу n-го  члена этой последовательности.  

Используем рекуррентное соотношение :

a(n+1)=4*a(n)-1

Запишем первые 3 члена:

a(1)=a1

a(2)=4a1-1

a(3)=4*(4a1-1)-1=16*a1-4a-1=4^2*a1-4a1-1

Можно уже догадаться что формула n  члена имеет вид:

a(n)=a1*4^(n-1)-4^(n-2)-4^(n-3)-4^4 - 4^3 - 4^2- 4- 1

Докажем наше предположение методом математической индукции:

Вычислим значение для n=1 :

a(1)=a1*4^(1-1)=a1*4^0=a1 ( верно)

Предположим, что формула верна для n=k :

a(k)=a1*4^(k-1)-4^(k-2)-4^(k-3) - 4^2 - 4 - 1

Тогда покажем ее верность для n=k+1

То  есть необходимо доказать что:

a(k+1)=a1*4^k -4^(k-1)-4^(k-2)-4^2-4-1

Поскольку : a(k+1)=4*a(k)-1

a(k+1)=4*(a1*4^(k-1)-4^(k-2)-4^(k-3)-4^2- 4- 1 )-1=                                              =a1*4^k -4^(k-1)-4^(k-2)-4^3-4^2-4-1 - (верно)

Таким образом наше предположение доказано.

Заметим, что нашу формулу можно записать так:

a(n)=a1*4^(n-1) + (1+4+4^2+4^3+ 4^(n-1)+4^(n-2) )

В скобках видим сумму геометрической прогрессии в которой:

b1=1

q=4

Тогда выражение в скобках равно:

S'=(q^(n-1)-1)/(q-1) =(4^(n-1) -1)/(4-1)= (4^(n-1)-1)/3

a(n)= a1*4^(n-1)  - (4^(n-1)-1)/3= (3*a1*4^(n-1) -4^(n-1)+1)/3=

= (4^(n-1) *(3a1-1) +1)/3 = 4^(n-1)*(3a1-1)  +1/3

Теперь можно найти сумму n   членов:

S(n)= 1/3  * (3a1-1)*(1+4+4^2...+4^(n-1) ) +n*(1/3)

Cумма в скобках вновь геометрическая прогрессия:

S''= (4^n -1)/3

S(n)= (3a-1)*(4^n -1)/9  +n/3=  ((3a-1)*(4^n -1) +3n)/9

Таким образом формула сумму n-членов ряда заданного рекуррентным  соотношением:

a(n+1)=4*a(n)-1

Вычисляется по формуле:

S(n)= ((3a-1)*(4^n -1) +3n)/9

Осталось подставить в формулу начальные данные:

a1=0.5

n=5

3a-1=3*0.5-1=0.5

4^n-1=4^5 -1= 1024-1=1023

S(5)= (0.5 *1023 +15)/9= 58.5

ответ: S(5)= 58.5

P.S  как  видим ответ совпал .