Вычислить: 81^-0, 75+(1/125)^-1/3-(1/32)^-3/5

81=3^4;  125=5^3;    32=2^5

81^(-0,75)=(1/3^4)^(3/4)=(1/3)³ =1/27

(1/125)^(-1/3)=∛5³=5

(1/32)^(-3/5)=32^(3/5)=(2^5)^(3/5)=2^3=8

исходное выражение =1/27 + 5 - 8= - 3 + 1/27 = - 2 26/27

Объяснение: 1) y=sin²(lg3x) + 1/2;

y"=(sin²(lg3x) + 1/2 )" = ( sin²(lg(3x))" + (1/2)" = (sin²(lg3x))" + 0=

=2×sin²⁻¹(lg3x) × (sin(lg3x))" = 2×sin(lg3x) × cos(lg3x) × (lg3x)" =

= sin(2lg3x) ×( (1×(3x)")/(3x×㏑10))=

=sin(2lg3x) × (3/(3×x㏑10))= (sin(2lg3x))/(x×㏑10).

2) y=sin²(xlg5x) + 1/∛x;

Находим производные поочередно каждой из составляющей суммы:

(sin²(xlg5x))" = 2×sin²⁻¹(xlg5x) × cos(xlg5x)×(xlg5x)" =

=2×sin(xlg5x) × cos(xlg5x) ×(x"×lg5x + x×(lg5x)" =

= sin(2xlg5x) × (lg5x + ((x×1)/(5x×㏑10)) =

= sin(2xlg5x) × (lg5x + (1/(5×㏑10)) =

= sin(2xlg5x) × lg5x + (sin(2xlg5x))/(5×㏑10);

(1/∛x)"= (1/(x^(1/3)))" =(x^(-1/3))" = -(1/3)×(x^(-1/3 -1)) =

= -(1/3)× (x^(-4/3)) = -1/(3×∛x⁴);

y"=(sin²(xlg5x) + (1/∛x))"=

=sin(2xlg5x)×lg5x +(sin(2xlg5x)/(5×㏑10)) - (1/(3×∛x⁴)).

3) y=√(cos(x/3)×(e^(tgx)));

y"= (√(cos(x/3)×(e^(tgx" =(1/2)×(cos(x/3) × e^(tgx))^(-1/2) ×

× (cos(x/3)× e^(tgx))" =

=(1/(2×√(cos(x/3)×e^(tgx))) × ((cos(x/3))"× e^(tgx) + cos(x/3)× ×(e^tgx)")=

=(1/(2×√(cos(x/3)×e^(tgx)) ×

×(-sin(x/3)×(x/3)"×e^(tgx) + cos(x/3)×(e^(tgx))×(tgx)")=

=  (1/((2×√((cos(x/3)×e^(tgx))) ×

×(-(1/2)×sin(x/3)×e^(tgx) + ((cos(x/3)×e^(tgx))/(2×cos²x×√(cos(x/3)×

×e^(tgx))=

=-(√(e^(tgx) × √(sin(x/3)) × √(sin(x/3))) / (4×√(cos(x/3) ) +

+ (√(e^(tgx))×√(cos(x/3))/(2×cos²x) =

= -(1/4)×√(sin(x/3)×tg(x/3)×e^(tgx)) +

+ (√((e^(tgx))×cos(x/3))/((2×cos²x)).

a∉{0;±1;0,25}

Объяснение:

(x² - (3a + 1)x + 2a² + a)(x² + (2a - 1)x - 3a² + a) = 0

Чтобы данное уравнение имело не менее трёх корней необходимо чтобы одно из уравнений

1) x² - (3a + 1)x + 2a² + a=0

2) x² + (2a - 1)x - 3a² + a=0

имело не менее одного, а второе не менее двух корней.

D₁=(-(3a + 1))² -4(2a² + a)=9a²+6a+1-8a²-4a=a²+2a+1=(a+1)²

D₂=(2a - 1)² -4(- 3a² + a)=4a² -4a+1+12a²-4a=16a²-8a+1=(4a-1)²

Очевидно,что D₁≥0 и D₂≥0.

1) D₂>0 и D₁=0⇒а=-1

x₁=(3a + 1)/2=-1

x₂,₃=(-(2a - 1)±(4a-1))/2

x₂=(-(2a - 1)+(4a-1))/2=a=-1

x₃=(-(2a - 1)-(4a-1))/2=1-3a=4

2) D₁>0 и D₂=0 ⇒а=0,25

x₁,₂=((3a + 1)±(a+1))/2=(1,75±1,25)/2

x₁,₂=(1,75-1,25)/2=0,25

x₁,₂=(1,75+1,25)/2=1,5

x₃=-(2a - 1)/2=0,25

3) D₁>0 и D₂>0

x₁,₂=((3a + 1)±(a+1))/2-два разных корня, x₃,₄=(-(2a - 1)±(4a-1))/2-два разных корня.

Теперь же нужно разобрать случай равенства одного из двух корней x₁,₂ с одним из двух корней x₃,₄

1)  ((3a + 1)+(a+1))/2=(-(2a - 1)+(4a-1))/2

4a+2=2a

a=1

2) ((3a + 1)+(a+1))/2=(-(2a - 1)-(4a-1))/2

4a+2=-6a+2

a=0

3) ((3a + 1)-(a+1))/2=(-(2a - 1)+(4a-1))/2

2a=2a

∀a

4) ((3a + 1)-(a+1))/2=(-(2a - 1)-(4a-1))/2

2a=-6a+2

a=0,25

В итоге можно сказать, что уравнение имеет не более трёх различных корней. Получается оно имеет ровно три различных корня при выполнении след. условий.

a∉{0;±1;0,25}