Доказать что разность между кубом нечетного числа и самим числом делится на 24.

(2n+1) - использованная  формула

(2n+1)³-(2n+1)=

=(2n+1)*((2n+1)²-1)=

=4n(n+1)(2n+1).

Предположим, что n ≠ 0

При N больше 0 произведение n*(n+1)(2n+1) кратно 6

Ч.т.д

cos²x +cos²y -sin²(x+y) = 2cosx  ;
(1+cos2x)/2 +(1+cos2y)/2 -(1-cos2(x+y))/2 = 2cosx  ;
1+cos2x +1+cos2y -1+cos2(x+y) = 4cosx  ;
(1+cos2(x+y) ) +(cos2x +cos2y )= 4cosx  ;
2cos²(x+y) +2cos(x+y)cos(x-y) = 4cosx  ;
2cos(x+y)( cos(x+y)+cos(x-y)) = 4cosx ;
2cos(x+y)*2 cosx*cosy = 4cosx ;
4cosx (cos(x+y)cosy -1) =0 ;
а) cosx =0 ;
x =π/2 +πk , k∈Z .
б) cos(x+y)cosy -1 =0 ⇔ cos(x+y)cosy=1 .
б₁)  {cos(x+y) = -1 ; cosy= -1.
{ x+y =π+2πk ; y = π+2πn ⇒{x=2π(k -n) ; y = π+2πn .
б₂)  {cos(x+y) =1 ; cosy= 1 ;
{x+y =2πk ; y = 2πn ⇒{x=2π(k -n) ; y = 2πn .

ответ в) 1100 руб.

Стоимость доставки М = х + п*у, где х - стоимость доставки к дому,
                                                       у - стоимость доставки на 1 этаж,
                                                       п - количество этажей
Тогда: М₄ = 890 = х + 4у
          М₇ = 980 = х + 7у    решаем систему

                 х = 980 - 7у  -  подставляем в 1-е уравнение:
               980 - 7у + 4 у = 890
                   90 = 3у
                     у = 30    тогда   х = 980 - у = 980 - 210 = 770
  
          и М₁₁ = 770 + 11*30 = 1100 (руб)