Среди векторов m n p k определите какие из них перпендикулярны а какие коллинеарны m(2, 7; -5) n(2, 7; 5) p (1; 0, 54) k(-5, 4; -10)

P  перпенкулярный       вот так это же эллементарно

Дана функцию f(x) = (x² - 3x) / (x - 4 ).

1 ) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на данном промежутке [-1; 3].  

2 ) Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции  .

ответ:  1 )   наибольшее 1  ;   наименьшее   - 0,8 .

2 )

Функция возрастает: x ∈( -∞ ; 2 ]  и x ∈[ 6 ;∞) .

Функция  убывает   x∈[2 ; 4) и x ∈(4 ;6] ;

Точки экстремумов:  x =2 точка максимума  и x = 6 точка минимума .

Объяснение:   D(f) : ( - ∞ ; 4)  ∪ (4 ; ∞ )                   [    R \ {4 }    ]

( u(x) /v(x) ) ' =  ( u'(x)*v(x) - u(x)*v'(x) ) / v²(x)

f ' (x) = ( (x² - 3x) / (x - 4 ) ) ' =( (x² - 3x) ' *(x - 4 ) - (x² - 3x)*(x-4) ' ) / (x-4)² =

( (2x - 3)*(x - 4 ) - (x² - 3x)* 1 ) / (x-4)²  = (x² - 8x +12) / (x-4)² =(x-2)(x-6) / (x-4)².

f ' (x)  = 0 ⇔(x-2)(x-6) / (x-4)² =0 ⇒ x₁ =2 ,  x₂ = 6 .

f'(x) не существует в точке x =4 , но в этой точке не существует и функция  

1)

* * *    x₂ = 6 ∉  [ -1 ; 3 ]      * * *

x₁=2 ∈ [ -1 ; 3 ]      f (x₁ ) =f (2 )  =(2² -3*2) /(2 - 4)  = 1 ;

f (a ) =f (-1 ) =( (-1)² -3*(-1) ) /( (-1) - 4)  = - 4/5 = - 0,8 ;

f(b) = f(3) = (3² - 3*3) /(3 -4) = 0

На  промежутке [-1;3]  наибольшее значение функции  равно 1 (если x=2 ),  наименьшее значение  -0,8 (если x= - 1 ) .  

2)

Промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции  .

f ' (x)  = 0 ⇔(x-2)(x-6) / (x-4)² =0        ⇒ x₁ =2 ,  x₂ = 6 .

Функция  возрастает  , если  f ' (x)  ≥ 0

Функция убывает  ,  если  f ' (x) ≤  0

По методу  интервалов

f '(x )  + + + + + + + + + + [ 2 ]  - - - - - - - - - - [ 6]  + + + + + + +

f (x )  ↑  (возрастает)            ↓ (убввает)             ↑  (возрастает)

Функция возрастает: x ∈( -∞ ; 2 ]  и x ∈[ 6 ;∞) .

Функция  убывает   x∈[2 ; 4) и x ∈(4 ;6] .

x =2  и   x=6 точки  экстремумов ( производная функции меняет знак при прохождения через эти точки )

x =2 точка максимума ,   f(2) = 1

x =6 точка  минимума  ,   f(6)=(6² -3*6) /(6 - 4)  =(36-18)/ 2=9.

1 - объем всей работы

х - производительность первого (т.е. объем работы за 1 час)у - производительность второго 

3х - объем работы, которую сделал первый за 3 часа
(3-1)у = 2у - объем работы, которую сделал второй за 2 часа

1 - 0,45 = 0,55 - объем работы, которую сделали первый и второй вместе.

Поучаем первое уравнение:
3х + 2у = 0,55

В условии сказано, что по окончанию работы выяснилось, что каждый выполнил половину всего задания, т.е. 1/2 или 0,5.

0,5 /х - всё время, затраченное первым рабочим на выполнение задания
0,5 /у - всё время, затраченное вторым рабочим на выполнение задания

По условию:
0,5 /х >0,5/y на 1 час

Поучаем второе уравнение:
0,5 /х - 0,5/y = 1

Решаем систему:
{3х + 2у = 0,55
{0,5 /х - 0,5/y = 1

ОДЗ: x>0;  y>0

Второе уравнение умножим на 2xy.
{3х + 2у = 0,55
{2xy·0,5 /х - 2xy·0,5/y = 1·2xy

{3х + 2у = 0,55
{y - x = 2xy

Из второго уравнения выразим y.
y-2xy = x
y(1-2x) = x
y = x/(1-2x)

Подставим в первое 
3x + 2x/(1-2x) = 0,55 

 При  x≠0,5

3x·(1-2x) +2x = 0,55·(1-2x) 
3x-6x²+2x-0,55+1,1x=0
-6x² +6,1x - 0,55 = 0
6x² - 6,1x + 0,55 = 0
D = b²-4ac
D = 37,21 - 4·6·0,55 = 24,01
√D =√24,01 = 4,9
x₁ = (6,1 - 4,9)/12 = 1,2/12=0,1
x₁= 0,1
x₂ = (6,1 + 4,9)/12 = 11/12=11/12
x₂ =11/12

При x₁ = 0,1    находим у₁
y₁ = 0,1/(1-2·0,1) = 0,1/0,8 = 1/8
Получаем х₁ = 0,1  и  у₁ = 1/8 = 0,125

При x₂ = 11/12    находим у₂
y₂ = 11/12  : (1-2·11/12) = 11/12 : (-10/12) = 11/12 · (- 12/10) = - 11/10 = - 1,1
у₂ - 1,1 - отрицательное противоречит ОДЗ.

Итак мы нашли 
0,1 - производительность первого (т.е. объем работы за 1 час)0,125 - производительность второго.

И, наконец, 1 - объем всей работы делим на производительность каждого и получаем искомое время каждого.

1 : 0,1 = 10 ч  - за это время первый,работая отдельно, может выполнить все задание.
1 : 0,125 = 8 ч  - за это время второй,работая отдельно, может выполнить все задание.

ответ: 10ч; 8ч