Различные решения с уравнений за 6 часов один рабочий изготовил столько же деталей, сколько другой-за 4 часа.сколько деталей изготавливает в час каждый рабочий, если первый изготавливает в час на 2 детали меньше, чем второй?

Х дет. - изготавливает в час первый рабочий
(х+2) дет. - изготавливает в час второй рабочий
6х=4(х+2)
6х-4х=8
2х=8
х=4 дет. в час изготавливает первый рабочий
4+2=6дет. в час изготавливает второй рабочий

10 (км/час) - собственная скорость катера.

Объяснение:

Катер с туристами из лагеря идет до экскурсионной остановки 63 км по течению реки и после экскурсии возвращается назад к лагерю. Найди собственную скорость катера, если скорость течения равна 4 км/ч, экскурсия длится 3 часа, а в лагерь катер приходит через 18 часов после того, как покидает его.

Время катера в пути 18-3=15 (часов).

Формула движения: S=v*t

S - расстояние            v - скорость             t – время

х - собственная скорость катера.

х+4 - скорость катера по течению.

х-4 - скорость катера против течения.

63/(х+4) - время катера по течению.

63/(х-4) - время катера против течения.

Согласно условию задачи уравнение:

63/(х+4) + 63/(х-4) = 15

Общий знаменатель (х-4)(х+4), надписываем над числителями дополнительные множители, избавляемся от дроби:

63*(х-4) + 63*(х+4) = 15*(х²-16)

63х-252+63х+252=15х²-240

Приводим подобные члены:

-15х²+126х+240=0

Разделить уравнение (все части) на -15 для упрощения:

х²-8,4х-16=0, квадратное уравнение, ищем корни:

D=b²-4ac =70,56+64=134,56         √D= 11,6

х₁=(-b-√D)/2a

х₁=(8,4-11,6)/2

х₁= -3,2/2= -1,6 - отбрасываем, как отрицательный.                  

х₂=(-b+√D)/2a

х₂=(8,4+11,6)/2

х₂=20/2

х₂=10 (км/час) - собственная скорость катера.

Проверка:

63/14+63/6=630/42=15, верно.  

Условие

x ≥ –1, n – натуральное число. Докажите, что (1 + x)n ≥ 1 + nx.

Решение 1

Докажем неравенство индукцией по n.

База. При n = 1 неравенство превращается в равенство.

Шаг индукции. Пусть уже доказано, что (1 + x)n ≥ 1 + nx. Тогда (1 + x)n+1 ≥ (1 + nx)(1 + x) = 1 + nx + x + nx² ≥ 1 + (n + 1)x.

Решение 2

Пусть a > 1. Рассмотрим функцию f(x) = (1 + x)a – ax – 1, определенную при x > –1. Ее производная f'(x) = a(1 + x)a–1 – a = a((1 + x)a–1 – 1) положительна при x > 0 и отрицательна при –1 < x < 0. Следовательно, f(x) ≥ f(0) = 0 на всей области определения.

Замечания

1. Неравенство превращается в равенство не только при n = 1, но и при x = 0 . В остальных случаях оно строгое.

2. При x ≥ 0 (такое ограничение дано в источнике) неравенство Бернулли сразу следует из формулы бинома: (1 + x)n = 1 + nx + ... .

3. Из решения 2 видно, что неравенство верно и при нецелых n > 1.