Число 5 является корнем уравнения 4x(в квадрате)+6x+k=0. найдите второй корень уравнения и значение k.

4x² + 6x + k = 0

Найдем k, подставив известный корень.

4 * 5² + 6 * 5 + k = 0

4 * 25 + 30 + k = 0

100 + 30 + k = 0

k + 130 = 0

k = -130

Узнав k, найдем второй корень уравнения.

ответ: k = -130; x₁ = -6,5

Для построения этого графика достаточно определить 3 точки
х    - 1      0        5
у      0      2       12
По оси  х   влево откладываются отрицательные значения , вправо - положительные
По оси у  вверх - положительные значения, вниз - отрицательные значения
Точка пересечение осей х и у = 0
Первая точка по оси х = -1. Это координата (-1;0)
Вторая точка по оси у вверх = 2 Это координата ( 0; 2)
Третья точка по оси право 5 ед отрезков, по оси у вверх 12ед.отрезков. От оси х вверх ведёшь перпендикуляр до отметки по оси у = 12. От оси у вправо ведёшь линию, параллельную оси х до пересечения с перпендикуляром от оси х. Точка пересечения этой параллели с перпендикуляром и будет нужной нам третьей точкой
Теперь проведи прямую линию между первой,второй.и третьей точкой. Это и будет наш график.

X^2 - 2(a-1)x + (2a+1) = 0
1) Если оно имеет действительные корни, то D >= 0
D/4 = (b/2)^2 - ac = (a-1)^2 - 1(2a+1) = a^2 - 2a + 1 - 2a - 1 = a^2 - 4a >= 0
a(a - 4) >= 0
a <= 0 U a >= 4

Знаки корней.
2) Если a <= 0, то a - 1 < 0
x1 = (-b/2 - √(D/4)) / a = (a - 1 - √(a^2 - 4a)) / 1 = a - 1 - √(a^2 - 4a) < 0
x2 = (-b/2 + √(D/4)) / a = (a - 1 + √(a^2 - 4a)) / 1 = a - 1 + √(a^2 - 4a)
x2 может быть и больше и меньше 0.
a) a - 1 + √(a^2 - 4a) < 0
√(a^2 - 4a) < 1 - a
a^2 - 4a < a^2 - 2a + 1
2a > -1;
-1/2 < a <= 0
b) a - 1 + √(a^2 - 4a) > 0
Аналогично получаем
a < -1/2

3) Если a = -1/2, то c = 2a + 1 = 0, тогда
x^2 - 2(-1/2 + 1)x + 0 = 0
x^2 - 2(1/2)x = 0
x^2 - x = 0
x1 = 0, x2 = 1 > 0

4) Если a >= 4, то a - 1 > 0
x1 = (-b/2 - √(D/4)) / a = (a - 1 - √(a^2 - 4a)) / 1 = a - 1 - √(a^2 - 4a)
x1 может быть и больше и меньше 0.
x2 = (-b/2 + √(D/4)) / a = (a - 1 + √(a^2 - 4a)) / 1 = a - 1 + √(a^2 - 4a) > 0
a) a - 1 - √(a^2 - 4a) < 0
√(a^2 - 4a) > a - 1
a^2 - 4a > a^2 - 2a + 1
2a < -1
a < -1/2 - не подходит, потому что a >= 4
b) a - 1 - √(a^2 - 4a) >= 0
√(a^2 - 4a) <= a - 1
a^2 - 4a <= a^2 - 2a + 1
2a >= -1
a >= -1/2 - подходит для любых a >= 4
Значит, при любом a >= 4 оба корня положительны.
ответ: При -1/2 < a <= 0 будет x1 < 0, x2 < 0
При a = -1/2 будет x1 = 0, x2 > 0
При a < -1/2 будет x1 < 0, x2 > 0
При a >= 4 будет x1 > 0, x2 > 0
При 0 < a < 4 действительных корней нет.