Составьте уравнение касательной к графику функции : y=e^(x+1)+4*√(x+5) -1

Решение
y = e^(x+1) + 4*√(x + 5) -  1
Запишем уравнение  касательной в общем виде:
y = y₀ + y'(x₀)(x - x₀)
По условию задачи x₀ = 0, тогда:
y₀(0) = e^(0+1) + 4*√(0 + 5) -  1 = e + 4√5 - 1
Теперь найдем производную:
y` = e^(x+1) + 4/(2√(x+5)) = e^(x+1) + 2/√(x+5)  
следовательно:
y`(x₀) = y`(0) = e + 2/√5
В результате имеем:
y = e + 4√5 - 1 + (e + 2/√5)*(x - 0) = e + 4√5 - 1 + e*x + 2x/√5 =
= e + 4√5 - 1 + e*x + (2√5 * x) / 5
y = e + 4√5 - 1 + e*x + (2√5 * x) / 5  - искомое уравнение касательной

Объяснение:

Показательной функцией назыввается функция вида y = ax, где a > 0 и a ≠ 1. График функции имеет следующий вид: Рассмотрим свойства функции: Областью определения функции является множество всех действительных чисел R. Множеством значений функции являются все положительные числа, т. е. промежуток E(y): (0; +∞). Наименьшего и наибольшего значений функция не имеет. Функция не является ни нечетной, ни четной.Все данные функции являются возрастающими, так как большему значению аргумента соответствует и большее значение функции.

Поскольку переменная х входит в чётной степени, то график заданной функции симметричен относительно оси у.
Производная этой функции равна нулю пр х = 0.
Подставив это значение в уравнение функции, получаем у = 1.
Исследуем поведение производной вблизи точки х = 0.
х           0.5              0           -0.5
у'      -0.6875          0          0.6875.
Производная переходит с + на -, значит, при х = 0 имеем максимум функции, равный у = 1.
Минимальное значение на заданном отрезке найдём, подставив значение х = +-3 в уравнение (достаточно х = 3, так как функция чётная) ymin = 1-3⁴-3⁶ = 1-3⁴*(1+3²) = 1-81*(1+9) = 1-810 = -809.
ответ при (х=+-3) :   умакс = 1,
                                   умин = -809.