1)lim 3x / (корень из (5-x) - корень из (5+x)) при x стремящемся к 0 2)lim (1/(x-2) - 4/(x^2-4)) при x стремящемся к 2 3)lim arcsin5x/(x^2-x) при x стремящемся к 0 4)lim ((1-x)/(2-x))^3x при x стремящемся к бесконечности

1) Неопределённость 0/0 раскрываем умножением числителя и знаменателя на выражение, сопряжённое знаменателю, т.е. на

В знаменателе разложение разности квадратом, используем это:

Сокращаем:



2) Неопределённость (∞-∞) раскрываем, приводя к общему знаменателю:

Сокращаем:


3) Неопределённость 0/0 раскрываем по первому замечательному пределу, вернее по одному из следствий из него, а именно:

Знаменатель разложили на множители, затем по свойству предел произведения равен произведению пределов, разбили на 2 предела:

Первый предел равен минус единице, второй приводим к первому замечательному пределу домножением на 5 числителя и знаменателя.


4) Неопределённость 1 в степени ∞ раскрывается с второго замечательного предела. Но сначала путём преобразований приведём к виду, когда его можно будет применить.
В числителе добавили и вычли 1, затем сгруппировали и разделили.

Потом поменяли знак второго слагаемого

Сделаем замену t=1/(x-2), при этом t →0 и 

Отделим целочисленную степень (6):

Разбили на произведение пределов, первый из которых равен 1, второй по второму замечательному пределу:

Сначала можно вычислить предел, а затем возвести его в степень:

А) x^3 + x^2 + x + 2 - на множители не раскладывается.
Уравнение x^3 + x^2 + x + 2 = 0 имеет один иррациональный корень.
f(-2) = -8 + 4 - 2 + 2 = -4 < 0
f(-1) = -1 + 1 - 1 + 2 = 1 > 0
x0 ∈ (-2; -1)
Можно найти примерно
f(-1,4) = -2,744 + 1,96 - 1,4 + 2 = -0,184 < 0
f(-1,3) = -2,197 + 1,69 - 1,3 + 2 = 0,193 > 0
x0 ∈ (-1,4; -1,3)
Можно уточнить
f(-1,35) = 0,012125 > 0
f(-1,36) = -0,025856 < 0
x0 ∈ (-1,36; -1,35)
f(-1,353) ~ 0,0008
Точность достаточна.
Остальные два корня - комплексные.
Я думаю, что это ошибка в задаче, должно было быть
x^3 + x^2 + x + 1 = (x + 1)(x^2 + 1)

б) 4x - 4y + xy - y^2 =  4(x - y) + y(x - y) = (4 + y)(x - y)

1) В точке касания значение функций двух линий равны:
х² + кх + 1 = х - 3
х² + кх - х + 1 + 3 = 0
х² + (к-1)х + 4 = 0.
Чтобы корень полученного квадратного уравнения был один, то дискриминант должен быть равен 0.
Д = в² - 4ас = (к - 1)² - 4*1*4 =к² - 2к -15 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно k: 
Ищем дискриминант:D=(-2)^2-4*1*(-15)=4-4*(-15)=4-(-4*15)=4-(-60)=4+60=64;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
k_1=(√64-(-2))/(2*1)=(8-(-2))/2=(8+2)/2=10/2=5;
k_2=(-√64-(-2))/(2*1)=(-8-(-2))/2=(-8+2)/2=-6/2=-3.

При полученных значениях к парабола у = х² + кх + 1 касается прямой у = х - 3.