Докажите неравенство (а-4)²> а(а-8)

A²-8a+16>a²-8a
a²-8a+16²-a²+8a>0
16>0

(-∞ ;-3) => функция выпукла;

(-3; +∞) => функция вогнута;

(-∞ ;-6) <=> f'(x) > 0 => функция возрастает;

(-6; 0) <=> f'(x) < 0 => функция убывает;

(0; +∞) <=> f'(x) > 0 => функция возрастает ;

Объяснение:

1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.  

f'(x) = 3x2+18x  

или  

f'(x)=3x(x+6)  

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю  

x(x+6) = 0  

Откуда:  

x1 = 0  

x2 = -6

(-∞ ;-6) <=> f'(x) > 0 => функция возрастает;

(-6; 0) <=> f'(x) < 0 => функция убывает;

(0; +∞) <=> f'(x) > 0 => функция возрастает ;

В окрестности точки x = -6 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = -6 - точка максимума. В окрестности точки x = 0 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 0 - точка минимума.  

2. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная.  

f''(x) = 6x+18  

Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю.  

6x+18 = 0  

Откуда точки перегиба:  

x1 = -3

(-∞ ;-3) => функция выпукла;

(-3; +∞) => функция вогнута;

Основание пирамиды - прямоугольник  со сторонами 6 см и 8 см.
Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см.
Вычислить высоту пирамиды.

 

Если все боковые ребра пирамиды равны между собой, то вершина пирамиды проецируется в центр описанной около основания окружности.

Диаметр окружности, описанной около прямоугольника, равен его диагонали.
Радиусы описанной окружности - проекция боковых ребер.
Диагональ прямоугольника - диаметр описанной окружности - найдем по т. Пифагора:
D=√(6²+8²)=10 см
R=5 cм
Высоту Н пирамиды найдем по т.Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного
боковым ребром - гипотенуза,
высотой и радиусом описанной окружности - катеты. ( Можно без вычисления сказать, что она будет равна 12 - треугольник из Пифагоровых троек 5:12:13)
Н=√(13²-5²)=12 см