Могут ли из первых ста членов арифметической прогрессии ровно 42 быть целыми числами? thanks

n=Z целое число
 

n⁴ - 34n² + 1 > 0

Введём замену переменной n² = t, причём t > 0:

t² - 34t + 1 > 0

Приравняем данное квадратное неравенство к нулю и найдём корни:

t² - 34t + 1 = 0

D = b² - 4ac = 1156 - 4 = 1152 = (24√2)²

t₁₂ = (34 ± 24√2)/2 = 17 ± 12√2

Вернёмся к замене:

n² = 17 + 12√2

n = ± (3 + 2√2)

n² = 17 - 12√2

n = ± (3 - 2√2)

Наибольшие корни здесь 3 + 2√2 и 3 - 2√2. Пусть √2 ≈ 1.4, составим неравенство:

3 - 2 · 1.4 < x < 3 + 2 · 1.4

3 - 2.8 < x < 3 + 2.8

0.2 < x < 5.8

Наибольшее положительное простое число - это число 5. Оно делится на себя и на единицу.

ответ

5

периметр прямоугольника со сторонами x и y:

Р=2(x+y)

по условию Р=80 м, значит

2(x+y)=80

x+y=40

y=40-x  - зависимость одной стороны от другой.

Площадь S прямоугольника:

S=xy=(40-x)x=40x-x²

S(x)=40x-x²  -функция зависимости площади участка от его длины)

Размеры участка при которых его площадь будет наибольшей можно найти двумя

графиком функции S(x)=40x-x² является парабола, ветви которой направлены вниз, значит ее наибольшее значение будет в ее вершине.

Хверш.=-b / 2a =  -40 / -2=20

Если х=20, то y =40-x=40-20=20

Тогда наибольшая площадь: S=xy=20*20=400

Через производную (если проходили!)

S(x)=40x-x²

S'(x)=40-2x

40-2x=0

-2x=-40

x=20 - точка максимума

y=40-20=20

ответ: 20 и 20 м