Решите уравнение sin(pi/2 + 2x) + √3cosx + 1 = 0 укажите корни принадлежащие отрезку [-pi; pi/2]

Task/26384367

Решить уравнение sin(π/2 + 2x) + √3cosx + 1 = 0
Укажите корни принадлежащие отрезку [-π ; π/2] .

sin(π/2 + 2x) + √3cosx + 1 = 0 ;
cos2x + √3cosx + 1 = 0 ; 
2cos²x -1 + √3cosx + 1 = 0 ; 
2cos²x+ √3cosx  = 0 ; 
2cosx(cosx + √3 /2 )  = 0 ; 
a)
cosx =  0   ⇒ x₁ =π/2 +πn , n∈Z .
или 
b)
cosx + √3 /2  =0 ;
cosx = - √3 /2   ⇒ x₂,₃ = ±( π -π/6) +2πn , n∈Z .
x₂ = -5π/6 +2πn , n ∈ Z ;
x₃= 5π/6 +2πn , n ∈ Z .
ответ1 : π/2 +πn ,  ±( π -π/6) +2πn , n∈Z . 

из  x₁ →  - π/2  ;
из  x₂ → - 5π/6 .
* * *  из  x₃  нет  * * *
ответ2 :  - π/2   ;- 5π/6 .

Обозначим объем бассейна S, скорость наполнения первой трубой х, а второй - у.
Две трубы вместе за 1 час наполнят 3/4 бассейна. Запишем это в виде уравнения
 (3/4)S/(x+y) =1
S/(x+y)=4/3
(x+y)/S=3/4
x/S + y/S =3/4

Если сначала первая труба наполнит 1/4 бассейна , а затем вторая при выключенной первой доведет объем до 3/4 , то на это понадобится 2,5 часа
То есть первая труба наполняет 1/4 бассейна, а вторая 1/2
(1/4)S/x  + (1/2)S/y=2,5

Если первую трубу включить на час . а вторую на полчаса, то они наполнят бассейн больше чем на 1/2.
x+y/2>S/2

Найти S/x и S/y
обозначим a=S/x и b=S/y, тогда наши уравнения упростятся
1/a + 1/b=3/4
(1/4)a  + (1/2)b=2,5
1/a+1/2b>1/2
найти a и b

из первого (a+b)/ab=3/4
4(a+b)=3ab
из второго уравнения a+2b=10
a=10-2b
подставляем a в первое уравнение
4(10-2b+b)=3b(10-2b)
4(10-b)=3b(10-2b)
40-4b=30b-6b²
6b²-34b+40=0
D=34²-4*6*40=196
√D=14
b₁=(34-14)/12=20/12=5/3  a₁=10-2*5/3=10-10/3=(30-10)/3=20/3
b₂=(34-14)/12=48/12=4   a₂=10-2*4=2
получили 2 ответа, подстваляем в неравенство 1/a+1/2b>1/2
1/a₁+1/2b₁=3/20+(1/2)(3/5)=3/20+3/10=9/20<1/2 -не подходит
1/a₂+1/2b₂=1/2 + (1/2)(1/4)=1/2+1/8>1/2  -подходит
ответ: первая труба наполняет бассейн за 2 часа, а вторая за 4 часа.

В решении.

Объяснение:

1. у = -3х;    у = 3х;    у = 0,5х.

Построить графики. Графики линейной функции, прямые линии. Придаём значения х, подставляем в уравнение, вычисляем у, записываем в таблицу. Для построения прямой достаточно двух точек, для точности построения определим три.

                                             Таблицы:

      у = -3х                              у = 3х                              у = 0,5х

х   -1     0     1                     х   -1     0    1                      х   -1     0      1

у    3    0    -3                    у   -3    0    3                     у  -0,5   0    0,5

График прилагается.

2.   В одном делении по вертикали (расстояние) 10 км;

в одном делении по горизонтали (время) 15 минут.

а) Второй автобус вышел через 30 минут (0,5 часа) после первого.

б) Первый автобус за 2,5 часа (10 делений по 15 минут расстояние 150 км (15 делений по 10 км).

Скорость: 150 : 2,5 = 60 (км/час).

Второй автобус за 2 часа (8 делений по 15 минут расстояние 160 км (16 делений по 10 км).

Скорость: 160 : 2 = 80 (км/час).

в) Второй автобус догнал первый через 120 км от станции.

На момент встречи первый автобус был в пути 2 часа со скоростью 60 км/час, 60 * 2 = 120 (км).

На момент встречи второй автобус был в пути 1,5 часа со скоростью 80 км/час, 80 * 1,5 = 120 (км).

г) S = v*t

3. Проходит ли график функции y = x + 4 через точку пересечения

графиков функции у = 2х + 5 и у = -5x - 2?

1) Найти координаты точки пересечения графиков у = 2х + 5 и у = -5x - 2. Для этого приравнять правые части уравнений (левые равны) и вычислить значение х:

2х + 5 = - 5х - 2

2х + 5х = -2 - 5

7х = -7

х = -7/7

х = -1;

Теперь подставить значение х в любое из двух уравнений и вычислить у:

у = 2х + 5 х = -1

у = 2 * (-1) + 5 = -2 + 5 = 3

у = 3;

Координаты точки пересечения графиков (-1; 3).

2) Подставить значения х и у (координаты точки пересечения) в уравнение функции y = x + 4. Если левая часть уравнения будет равна правой, то график y = x + 4 проходит через точку пересечения.

y = x + 4 (-1; 3)

3 = -1 + 4

3 = 3, проходит.