Обчислити площу фігури, обмеженої лініями y=6/x та y=-(1/2)x+3.5

1. Для начала, вычислим производную функции y=2x^2 -4х +5. Для этого возьмем производную каждого слагаемого по отдельности.

y' = (2x^2)' - (4x)' + (5)' = 4x - 4

Теперь найдем точки, где производная равна нулю:

4x - 4 = 0
4x = 4
x = 1

Теперь определим знак производной для каждого интервала:

Для x < 1:
Подставим любое значение меньше 1 в производную (например, x=0):

4(0) - 4 = -4

Производная отрицательна на промежутке (−∞, 1).

Для x > 1:
Подставим любое значение больше 1 в производную (например, x=2):

4(2) - 4 = 4

Производная положительна на промежутке (1, +∞).

Таким образом, функция y=2x^2 -4х +5 возрастает на интервале (1, +∞) и убывает на интервале (−∞, 1).

2. Вычислим производную функции y=(x-2)(x+3).

y' = [(x-2)'(x+3) + (x-2)(x+3)'] = [(1)(x+3) + (x-2)(1)] = x + 3 + x - 2 = 2x + 1

Теперь найдем точки, где производная равна нулю:

2x + 1 = 0
2x = -1
x = -1/2

Определим знак производной для каждого интервала:

Для x < -1/2:
Подставим любое значение меньше -1/2 в производную (например, x=-1):

2(-1) + 1 = -1

Производная отрицательна на промежутке (−∞, -1/2).

Для x > -1/2:
Подставим любое значение больше -1/2 в производную (например, x=0):

2(0) + 1 = 1

Производная положительна на промежутке (-1/2, +∞).

Таким образом, функция y=(x-2)(x+3) возрастает на интервале (-1/2, +∞) и убывает на интервале (−∞, -1/2).

3. Вычислим производную функции y=1 - (2-x)(3+2x).

y' = (1)' - [(2-x)'(3+2x) + (2-x)(3+2x)'] = - (3+2x) + (-1)(3+2x) = -3 - 2x - 3 - 2x = -6 - 4x

Теперь найдем точки, где производная равна нулю:

-6 - 4x = 0
-4x = 6
x = -6/4
x = -3/2

Определим знак производной для каждого интервала:

Для x < -3/2:
Подставим любое значение меньше -3/2 в производную (например, x=-2):

-6 - 4(-2) = -6 + 8 = 2

Производная положительна на промежутке (−∞, -3/2).

Для x > -3/2:
Подставим любое значение больше -3/2 в производную (например, x=0):

-6 - 4(0) = -6

Производная отрицательна на промежутке (-3/2, +∞).

Таким образом, функция y=1 - (2-x)(3+2x) возрастает на интервале (−∞, -3/2) и убывает на интервале (-3/2, +∞).

4. Вычислим производную функции f(x) = 0.25^x4 + x^3 — 0.5^x2 – 3x + 1.

Для более удобного вычисления производной, разобьем функцию на отдельные слагаемые:

f(x) = 0.25^x4 + x^3 — 0.5^x2 – 3x + 1
= 0.25^x4 + x^3 + (-0.5^x2) – 3x + 1

Теперь найдем производные для каждого слагаемого по отдельности:

(f(x))' = (0.25^x4)' + (x^3)' + ((-0.5^x2)') – (3x)' + (1)'
= 0 + 3x^2 + (0 - 2)(-0.5^x2)^(2-1) - 3 + 0
= 3x^2 + x + 1.5^x2

Теперь найдем точки, где производная равна нулю:

3x^2 + x + 1.5^x2 = 0

Это уравнение сложно решить аналитически, поэтому воспользуемся графическим методом или численными методами для нахождения корней.

Определим знак производной для каждого интервала:

Так как у нас нет точных значения корней, мы не можем однозначно определить знак производной для каждого интервала без дополнительного анализа или использования численных методов.

Таким образом, чтобы однозначно ответить на вопрос о промежутках возрастания и убывания для функции f(x) = 0.25^x4 + x^3 — 0.5^x2 – 3x + 1 требуется провести дополнительный анализ или использовать численные методы для нахождения корней и определения знака производной на каждом интервале.

Хорошо, давайте решим эту систему уравнений графически.

Шаг 1: Начнем с построения графиков каждого уравнения на координатной плоскости.

Уравнение y = x^2 + 5x - 17 представляет собой параболу, так как имеет степень 2 у переменной x. Чтобы построить график параболы, мы можем использовать точку вершины и направление параболы. Воспользуемся формулой для нахождения вершины параболы: x = -b / (2a), где a и b - коэффициенты при x в уравнении.

В данном случае у нас a = 1 и b = 5. Подставляя эти значения в формулу, получаем x = -5 / (2*1) = -5/2 = -2.5. Чтобы найти y-координату вершины, мы подставляем x в исходное уравнение параболы: y = (-2.5)^2 + 5*(-2.5) - 17 = 6.25 - 12.5 - 17 = -23.25.

Таким образом, вершина параболы находится в точке (-2.5, -23.25).

Теперь построим график второго уравнения y = 3x + 7. Это линейное уравнение, поэтому график будет представлять собой прямую линию. Прямая можно построить, используя две точки на ней. Удобно выбрать точки, взяв значения x = 0 и x = 1. Подставляя эти значения в уравнение, мы получаем y = 3*0 + 7 = 7 и y = 3*1 + 7 = 10. Таким образом, мы имеем две точки на прямой: (0, 7) и (1, 10).

Шаг 2: После построения графиков обоих уравнений, мы можем найти их пересечение, которое будет являться решением системы уравнений.

На нашей координатной плоскости мы видим, что парабола пересекает прямую в двух точках. Однако, для решения системы уравнений, нам интересует только точка пересечения, которая удовлетворяет обоим уравнениям. В нашем случае, это точка (1, 10), которая является решением данной системы уравнений.

Таким образом, единственное решение данной системы уравнений y = x^2 + 5x - 17 и y = 3x + 7 - это точка (1, 10).