Определи точку пересечения прямых y=2x+10 и y=−3x+10, не выполняя построения графиков.

Поступим следующим образом: косинус перенесем влево с противоположным знаком и обе части разделим на (это же самое, что умножить на дробь ) Имеем:

Заметим, что

Если переписать неравенство в следующем виде -

,

то легко можно заметить в левой части формулу синуса разности аргументов. Окончательно имеем:

Сделаем замену: . Таким образом мы свели исходное неравенство к наипростейшему вида . Решим его при числовой окружности (вложение). Окончательно имеем:  . Возвращаемся к обратной замене: .

Ко всем 3-ем частям неравенства прибавляем и получаем окончательный ответ:  

ОТВЕТ: .

Eсли cosx > 0, т. е х в 1 и 4 четверти, делим на cosx

tgx < 1⇒  -(π/2)+πk < x < (π/4)+πk, k∈Z

Неравенству удовлетворяют корни, для которых соsx>0

Получаем

-(π/2)+2·πk < x < (π/4)+2·πk, k∈Z

Eсли cosx < 0, т. е х в 2 и 3 четверти, делим на cosx

tgx >  1⇒  (π/4)+πn < x < (π/2)+πn, n∈Z

Неравенству удовлетворяю корни, для которых соsx>0

Получаем

(3π/4)+2·πn < x < (π/2)+2·πn, n∈Z

О т в е т. Объединение ответов:

((π/2)+2·πk ; (π/4)+2·πk) U (3π/4)+2·πn ; (π/2)+2·πn), k, n∈Z