Решите уравнение: 8х в квадрате +48 - х в кубе - 6х =0 !

8x² + 48 - x³ - 6x = 0
(8x² + 48) - (x³ + 6x) = 0
8(x² + 6) - x(x² + 6) = 0
(x² + 6)( 8 - x) = 0
x² + 6 = 0                                           8 - x = 0
x² = - 6 - решений нет                       x = 8
ответ: 8

Обозначим четырехугольник ABCD, искомую точку - O.
Тогда по условию сумма векторов OA + OB + OC + OD = 0

Возьмем произвольную точку X в плоскости четырехугоьлника

Справедливы векторные равенства:

XA = XO + OA
XB = XO + OB
XC = XO + OC
XD = XO + OD

XA + XB + XC + XD = 4XO + OA + OB + OC + OD 

Отсюда следует:

XA + XB + XC + XD = 4XO

Тогда вектор XO = 1/4 (XA + XB + XC + XD)

Отсюда находится точка О
(берем любую точку X, строим XA, XB, XC, XD, находим XO, и откладываем его из точки X - попадаем в искомую точку О).

Положим существует точка O1 обладающая теми же свойствами

Тогда такими же рассуждениями получаем, что
XO1 = 1/4 (XA + XB + XC + XD)

Отсюда XO = XO1, но это значит что O = O1 (т.е. это та же самая точка, значит она единственна)

Решение уравнения будем искать в виде .

Составим характеристическое уравнение.
 

Фундаментальную систему решений функций:


Общее решение однородного уравнения:
 

Теперь рассмотрим прафую часть диф. уравнения:
 

найдем частные решения.
Правая часть имеет вид уравнения
, где R(x) и S(x) - полиномы, которое имеет частное решение.

, где кратность корня 

У нас R(x) = 3; L(x) = 0; 

Число  является корнем характеристического уравнения кратности z=1

Тогда уравнение имеет частное решение вида:
 
Находим 2 производные, получим


И подставим эти производные в исходное диф. уравнения


Частное решение имеет вид: 

Общее решение диф. уравнения: