при каких значениях параметра a уравнение 2a2x2+(3−4a)x+2=0 имеет два корня?

Условие не полное, максимум, который можно "выжать" :

Поскольку бассейн в итоге пуст, то это значит, что выливается больше, чем вливается, т.е. производительность выливающей трубы больше производительности заливающей трубы.

С одной стороны 1/3:8=1/24- совместная производительность двух труб.
С другой стороны совместная производительность двух труб это производительность выливающей трубы минус производительность заливающей трубы.

х-время наполняющей трубы на наполнение бассейна, 1/х-ее производительность
у-время сливающей  трубы на слив бассейна, 1/у- ее производительность

1/у-1/х=1/24 домножим на 24ху
24х-24у=ху
24х-ху=24у
х(24-у)=24у
х=24у/(24-у) 

Ограничение
24-у>0 и у>0
у<24
у∈ (0;24)

Это общее решение.
Конкретных решений бесконечное множество
Например:
2  и  2  2/11
8 и 12
9 и 14,4
15 и 40 

Скорее всего- Вы не верно условие переписали.

Х не делится на 3, значит дает в остатке либо 1 либо 2
х=3k+1    или    х =3k+2
y не делится на 3, значит дает в остатке либо 1 либо 2
y= 3n +1    или    y =3n+2

тогда
а= (3k+1)⁴+(3n+1)⁴+1=(3k)⁴+4(3k)³+6(3k)³+4(3k)+1+(3n)⁴+4(3n)³+6(3n)³+4(3n)+1+1
Каждое слагаемое, которое  содержит 3k  или 3n  кратно 3,
1+1+1=3  тоже делится на 3
или
а= (3k+2)⁴+(3n+2)⁴+1=(3k)⁴+4(3k)³·2+6(3k)³·2²+4(3k)·2³+16+(3n)⁴+4(3n)³·2+6(3n)³·2²+4(3n)·2³+16+1
Каждое слагаемое, которое содержит 3k  или 3n   кратно 3,
16+16+1=33  тоже делится на 3
или
а= (3k+1)⁴+(3n+2)⁴+1=(3k)⁴+4(3k)³+6(3k)³+4(3k)+1+(3n)⁴+4(3n)³·2+6(3n)³·2²+4(3n)·2³+16+1
Каждое слагаемое, которое  содержит 3k  или 3n кратно 3,
1+16+1=18 тоже делится на 3
или
а= (3k+2)⁴+(3n+1)⁴+1=(3k)⁴+4(3k)³·2+6(3k)³·2²+4(3k)·2³+16+(3n)⁴+4(3n)³+6(3n)³+4(3n)+1+1
Каждое слагаемое , которое содержит 3k  или 3n   кратно 3,
16+1+1=3 и тоже делится на 3