Докажите неравенство: а) (x+2)²≥8x б) x² + 2x + 2 > 0

Доказательство:
а)Докажем, что (х + 2)² ≥ 8х
Оценим разность правой и левой частей:
(х + 2)² - 8х = х² + 4 + 4х - 8х = х² + 4 - 4х  = (х - 2)² ≥0 при всех значениях переменной. По определению (х + 2)² ≥ 8х, что и требовалось доказать.
б) Докажем, что х² + 2х + 2 > 0
х² + 2х + 2 = х² + 2х + 1 + 1 = (х² + 2х + 1) + 1 = (х + 1)² + 1 > 0, т.к.
(х + 1)² ≥ 0 при всех значениях х,  + 1 > 0. Неравенство доказано.

Х²+8х+18=х²+2*4х+4²+2=(х+4)²+2
Квадрат числа - это либо положительное число, либо ноль. То есть (х+4)²≥0. Если к положительному числу или нулю добавить 2, то получится положительное число. Значит, выражение принимает положительное значение при любом значении х.
Наименьшее значение выражение примет в том случае, если значение выражения (х+4)² будет наименьшим, то есть 0, поскольку квадрат числа не может быть отрицательным. При этом значение выражения будет равно 0+2=2.
Итак, найдем х, при котором выражение принимает наименьшее значение:
(х+4)²=0
х+4=0
х=0-4
х=-4 - при таком значении х значение будет наименьшим.
ответ: наименьшее значение выражения будет 2 при х=-4.

1) на формулы сокращенного умножения
2) на формулы сокращенного умножения и вынесение общего множителя
3) на формулы сокращенного умножения
4) решение квадратных уравнений и вынесение общего множжителя
5) Чтобы доказать делимость, разделим данное выражение на 8. Раскроем скобки, вынесем общий множитель и получим квадратное выражение.

Натуральные числа - это числа больше нуля, следовательно и полученное нами квадратное выражение должно быть больше нуля. Получаем квадратное неравенство, которое и решаем.

Т.к. при  коэффициент положительный, ветви параболы смотрят вверх, следовательно больше нуля заштрихованная область.

Нам же нужны значения n>0, а они входят в ответ. Значит данное в условии выражение делится на 8 при любом натуральном n. Что и требовалось доказать.