Используя график функции y = x, постройте в одной координатной плоскости графики функций y = 3x; y = -2x; y = x + 2; y = -4x - 1.

1) y=-2x²-3x-3
Функция определена на всей числовой прямой
Найдём производную и приравняем её к 0:
y'=(-2x²-3x-3)'=-4x-3
-4x-3=0
-4x=3
x=-3/4
Нашли критическую точку, теперь надо определить это точка максимума или минимума функции. На числовой прямой откладываем точку -3/4 и находим значения производной функции перед этой точкой, например в точке -2:
f'(-2)=-4*(-2)-3=5
Значит производная положительная на интервале (-∞;-3/4)
Выбираем точку 0:
f'(0)=-4*0-3=-3
Значит производная отрицательная на интервале (-3/4;∞)
То есть производная меняет знак с плюса на минус значит функция достигает максимума в данной точке: x=-3/4 точка максимума.
-2*(-3/4)²-3(-3\4)-3=-15/8

2) y=x²-4x-21
y'=(x²-4x-21)'=2x-4
2x-4=0
2x=4
x=2
Подставляем 0 и находим значение производной в этой точке
f'(0)=2*0-4=-4  f'(x)<0
Подставляем 3
f'(3)=2*3-4=2  f'(x)>0
При переходе через точку 2 производная меняет знак с "-" на "+" значит функция в этой точке достигает минимума.
2²-4*2-21=4-8-21=-25

ответ: a ∈ (-1; -2/3) ∪ (-2/3; -1/3)

Объяснение:

(1 + a)ctg²x - (2a + 4)/sin x + 1 - 7a = 0

(1 + a)(1/sin²x - 1) - (2a + 4)/sin x + 1 - 7a = 0

Замена: 1/sin x = t

(1 + a)(t² - 1) - (2a + 4)t + 1 - 7a = 0

(1 + a)t² - (2a + 4)t - 1 - a + 1 - 7a = 0

(1 + a)t² - (2a + 4)t - 8a = 0

При а = -1:

-2t + 8 = 0

t = 4

sin x = 1/4, x ∈ (0; π/2)

x = arc sin 1/4 - единственное решение.

а = -1 - не подходит.

При а ≠ -1:

D = (2a + 4)² + 32a(1 + a) = 4a² + 16a + 16 + 32a + 32a² = 36a² + 48a + 16 = (6a + 4)²

t = (2a + 4 ± (6a + 4)) / 2(1 + a)

t₁ = -4a/ 2(1 + a) = -2a/(1 + a)

t₂ = (8a + 8)/ 2(1 + a) = 4

1/sin x = -2a/(1 + a)

1/sin x = 4

sin x = -(1 + a) / 2a, x ∈ (0; π/2)

sin x = 1/4, x ∈ (0; π/2)

Уравнение будет иметь более одного решения при выполнении двух условий:

0 < -(1 + a) / 2a < 1

-(1 + a) / 2a ≠ 1/4

-2 < (1 + a)/a < 0

(1 + a)/a ≠ -1/2

-2 < 1/a + 1 < 0

1/a + 1 ≠ -1/2

-3 < 1/a < -1

1/a ≠ -3/2

-1 < a < -1/3

a ≠ -2/3

a ∈ (-1; -2/3) ∪ (-2/3; -1/3)