Укажите промежуток, на которой квадратичная функции y=x^2-3x+6 возрастает.

Находим производную. Там, где производная больше нуля, там функция возрастает. 
y ' (x) = 2 x - 3;
 2x - 3 > 0;
 2 x > 3;
 x > 1, 5
Или можно записать в виде интервала х ∈ ( 1,5 ; + ∞ )

Очевидно, задача сводится к тому, чтобы доказать, что при любых а выражение а³-а разделится на 2 и на 3

1. а³ - а = а × а × а - а
   если а - четное, то а³ - а тоже четное
   если а - нечетное, то а³ - нечетное. Если из любого нечетного вычесть 
   нечетное, то результат будет четным.
   Действительно: пусть х - четное и у - четное. Тогда х + 1 - нечетное и
   у + 1 - нечетное.
   (х + 1) - (у + 1) = х + 1 - у - 1 = х - у - четное по определению
Таким образом, а³ - а - делится на 2 при любых а.

2. а³ - а = а(а² -1) = а(а - 1)(а + 1) - при любом а данное произведение является произведением трех последовательных чисел (а -1) ; а ; (а + 1)
Из любых трех последовательных чисел одно всегда разделится на 3, следовательно и все произведение этих чисел разделится на 3

Таким образом, мы доказали, что выражение а³ - а делится на 2 и на 3. Следовательно оно разделится на 6

1. x = 2a^2 = 3b^3
Очевидно, что а должно делиться на 3, а b делиться на 2.
2a^2/b^2 = 3b
(a/b)^2 = 3b/2
Число 3b/2 должно быть квадратом. Минимальное b = 6
(a/6)^2 = 3*6/2 = 9 = 3^2
a/6 = 3
a = 18
x = 2*a^2 = 2*18^2 = 2*324 = 648
x = 3b^3 = 3*6^3 = 3*216 = 648
Числа совпали, значит, все решено верно.
ответ: 648

2. До 2915 он вряд ли доживет, а в 2015 - вычислим.
Очевидно, он родился в 20 веке, год рождения 19xy = 1900+10x+y.
Будем считать, что он родился НЕ 1 января.
01.01.1989 его день рождения в 1989 году еще не наступил, поэтому ему столько лет, сколько исполнилось в 1988, то есть 88 - 10x - y.
И это равно сумме цифр его года рождения
88 - 10x - y = 1 + 9 + x + y
78 = 11x + 2y
Числа 78 и 2у четные, значит, 11x тоже четное, x четное.
x = 2; y = (78 - 22)/2 = 56/2 = 28 - двузначное, не подходит.
x = 4; y = (78 - 44)/2 = 34/2 = 17 - тоже двузначное
x = 6; y = (78 - 66)/2 = 12/2 = 6
Его год рождения 1966, а 01.01.2015 ему будет 48 лет.

Если же он родился 1 января, то 01.01.1989 ему будет 89 - 10x - y лет.
89 - 10x - y = 1 + 9 + x + y
79 = 11x + 2y
Здесь уже, наоборот, x должно быть нечетным, потому что сумма 79.
x = 5; y = (79 - 55)/2 = 24/2 = 12
x = 7; y = (79 - 77)/2 = 2/2 = 1
Он родился 01.01.1971, а 01.01.2015 ему исполнится 44 года.