Вычислить arccos(cos(240))+arctg(tg(-120))+arcsin(sin(120))

Arccos(cosx)=x  , только если  0°≤х≤180° .

Так как угол в 240° не входит в указанный промежуток, то необходимо привести этот угол к промежутку тригонометрических формул, учитывая периодичность и чётность тригонометрических функций.

сos240°=cos(360°-120°)=cos(-120°)=cos120° ,  120°∈[ 0°,180°]  °⇒
arccos(cos240°)=arccos(cos120°)=120°.

arctg(tgx)=x , только если  -90°<x<90° .

tg(-120°)= -tg(120°)= -tg(180°-60°)=-(-tg60°)=tg60°  ,  60°∈(-90°,90°)  ⇒
arctg(tg(-120°))=arctg(tg60°)=60°

arcsin(sinx)=x , только если  -90°≤x≤90° .

sin120°=sin(180°-60°)=sin60°  ,  60°∈[-90°90°]  ⇒
arcsin(sin120°)=arcsin(sin60°)=60°

arccos(cos240°)+arctg(tg(-120°))+arcsin120°=120°+60°+60°=240°

все значения х , при которых значения выражений корень из (4-х) , корень из (2х-2) , 4 являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии

а)
√(4-x) ,  √(2x-2) , 4  являются   последовательными членами геометрической прогрессии   
 ... a_(n) , a_(n+1) ,a_(n+2 ) ...
a_(n+1)² =a_(n)*a_(n+2) _характеристическое свойство геометрической прогрессии .
{ 4-x >0 ; 2x-2 >0  ; (√(2x-2) )² = 4*√(4-x) .⇔{ 1 < x < 4  ; 2x -2 = 4*√(4-x) . ⇔ {  x∈ (1 ; 4)   ;  x -1 = 2*√(4-x) . ⇔ { x∈ (1 ; 4)  ;  (x -1)² = 4*(4-x) .
(x -1)² = 4*(4-x) ;
x² -2x +1 = 16 - 4x ;
x² +2x - 15 =0 ;  * * *  x = -1±√(1+15)   * * *
x₁ = -1 - 4 = -5  ∉ (1,4)  ;
x₂ = -1+4 =  3 .      * * * √(4-x) =1 ,  √(2x-2) =2  , 4   * * *

ответ : 3     

б)  
...√(2x-2)  , √(4-x) ,  4 ...
(√(4-x) )² =4√(2x-2)  ;
4 - x  = 4√(2x-2) ;
16 -8x +x² =16(2x-2) ;
x² - 40x +48 =0 ;
x =20 ±√(20² -48) ;
x =20 ±4√22  ;
x₁ =20 + 4√22   ∉ (1,4)  ;
x₂ = 20 -  4√22 ≈ 1,24 . 

ответ : 4(5  -√22 ).    

в)  
...√(2x-2)  , 4  ,  √(4-x)...  * * * или ...√(4-x) , 4  , .√(2x-2) ...
4² = √(2x-2) *√(4-x) ⇔ 16 = -2x² +10x  -8 ⇔ 2x² -10x  +24 =0 ⇔ x² -5x  +12 =0 
D =5² -4*12 =25 -48 = -23 <0 _не имеет действительных корней.

Для решения данной задачи мы должны найти значение выражения, которое представляет из себя сложный радикал.

Для начала, давайте разберемся, что такое сложный радикал. Сложный радикал - это выражение, в котором под радикалом находится другое выражение или число. В данном случае, под радикалом у нас есть выражение "корень из 18 - 35".

Для удобства, давайте разложим число 18 на простые множители:
18 = 2 * 3 * 3

Теперь мы можем записать исходное выражение в виде:
корень из(2 * 3 * 3) - 35

Далее мы можем просто извлечь корни из каждого множителя:

корень из 2 * корень из 3 * корень из 3 - 35

Скорее всего, школьник уже знает, что корень из 3 - это приблизительно 1.732. Таким образом, мы можем заменить в нашем выражении корень из 3 на это значение:

корень из 2 * 1.732 * 1.732 - 35

Теперь, если мы перемножим числа 1.732 и 1.732, то получим:

корень из 2 * 3 - 35

После этого, мы можем перемножить корень из 2 и 3:

корень из 6 - 35

Итак, ответ на задачу будет равен "корень из 6 - 35". Данный ответ не может быть упрощен, так как ни корень из 6, ни 35 не могут быть записаны в простом числовом виде без радикалов или остатков.

Дело в том, что некоторые выражения невозможно упростить без использования специальных методов, а корень из 6 - является одним из таких нерациональных (непросто выражаемых) чисел.