Обчислити значення виразу: 2 * sin(π/8) * cos(π/8)

2*sin(пи/8)*cos(пи/8)=sin2*(пи/8)=sin(пи/4)=корень из 2/2. используем формулу: sin2a=2sinacosa.

Представим данное выражение в виде
. Так как среди любых трех последовательных целых чисел по крайней мере одно делится на 2 и одно на 3, то при любых целых n число  делится на  Следовательно, число  делится на 6, если n - любое число.

Докажем, что  делится на 7, если n - натуральное число. Для начала исследуем методом математической индукции
1. При  имеем  - кратное 7.
2. Допустим, что  делится на 7 при каком-нибудь произвольном натуральном , т.е.  кратно 7.
3. Докажем, что делится на 7 и при 


Первое слагаемое кратно 7 по допущению второго пункта, а второе слагаемое кратно 7, так как на 7 делятся все его слагаемые, следовательно, картно 7, если n - натуральное число. 

Пусть v1 км/ч- скорость первого автомобиля, v2 км/ч - второго, t - время от старта автомобилей до их встречи. Тогда первый автомобиль находился в пути время t1=t+1,6 ч, а второй - время t2=t+2,5 ч, поэтому v1*(t+1,6)=v2*(t+2,5)=180. Кроме того, v1*t+v2*t=180. Получаем систему уравнений:

v1*(t+1,6)=180
v2*(t+2,5)=180
v1*t+v2*t=180

Из первого уравнения находим v1=180/(t+1,6), из второго - v2=180/(t+2,5). Подставляя эти выражения в третье уравнение, получаем уравнение:

180*t/(t+1,6)+180*t/(t+2,5)=180, или t/(t+1,6)+t/(t+2,5)=1.Отсюда следует уравнение t*(t+2,5)+t*(t+1,6)=t²+4,1*t+4, или 2*t²=t²+4. Тогда t²=4 и t=√4=2 ч. Отсюда v1=180/(2+1,6)=50 км/ч и v2=180/(2+2,5)=40 км/ч. ответ: 50 и 40 км/ч.