Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 63 км/ч, а вторую половину времени — со скоростью 81 км/ч. найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. ответ дайте в км/ч.

Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно весь путь разделить на все время движения. Пусть 2t ч — время всего пути, тогда средняя скорость равна:
63t+81t/2t=72км/ч

  Если вам нужно "сухое" доказательство , то это Малая теорема Ферма ,  , у вас тут  , и оно не делится на  , откуда и следует утверждение задачи  
   
Если хотите более элементарное доказательство , можно это доказать при Бинома Ньютона , или попробовать  представить просто число в виде . Но рассматривать частные случаи , что то не охота
 
Либо через группу Галуа , если это доказательство подойдет .  Если рассматривать уравнение вида  ,  то есть имеет вид  , то найдется такое число во множители что , будет делится на  , опять не для всех , а только для простого числа . А она следует из теорема Эйлера. 
 

Скрорость теплохода примем за x(км/час), а скорость течения  - за y(км/час). Тогда скорость теплохода по течению будет (x+y)(км/час), а скорость теплохода против течения (x-y)(км/час). Расстояние равняется произведению скорости на время, следовательно, можем составить систему уравнений:

В первом уравнении раскрываем скобки, второе же уравнение умножаем на 2:


Из второго уравнения выражаем y и подставляем в первое:

Далее, решаем первое уравнение относительно x:



Таким образом, собственная скорость теплохода равняется 55 км/час, а скорость течения - 5 км/час. Можно сделать проверку, подставив найденные скорости в изначальные уравнения.