|-х²-х|≥4х-2 , , решить неравенство

task/29824203   решить неравенство  | - x² - x | ≥  4x - 2

решение | - x² - x | ≥ 4x -2  ≡ | x² +x | ≥ 4x -2 , т.к. | - x² - x | = |-(x²+x | = | x² + x |

а) Любое  значение переменного  при котором  4x -2 ≤ 0 , т.е.  x ≤ 1/2                  является решением неравенства .          x ∈ ( -∞ ; 1/2 ] .    (1)  

б)  x > 1/2 ;     x² + x  > 0  ⇒| x² + x | = x² + x , поэтому x² + x ≥  4x -2

x² -3x +2 ≥ 0 ⇔(x - 1)(x - 2) ≥ 0    + + + + + [1] - - - - - [2] + + + + + +

x  ∈  (1/2 ; 1 ] ∪ [ 2 ; +∞ ) .      (2)

ответ :  x ∈ (∞ ; 1] ∪ [ 2 ; +∞).

* * * P.S.   ( -∞ ; 1/2 ] ∪ (1/2 ; 1] ∪ [2 ; +∞)  = (- ∞ ; 1 ] ∪ [2 ; + ∞)   * * *

Удачи !

Решение на фотографии

Объяснение:

Рассмотрим сначала первое неравенство системы.

Начнем с ОДЗ:

Продолжим решение:

1)

Замена: .

Обратная замена:

С учетом ОДЗ оба корня подходят.

2)

С учетом ОДЗ получим, что решение неравенства:

Теперь перейдем ко второму неравенству системы:

Понятно, что сначала нужно написать ОДЗ.

Продолжим решение:

Заметим, что данное неравенство хорошо раскладывается на множители:

Решим неравенство по методу интервалов.

1)

2)

Введем функции и . Заметим, что первая функция возрастает, а вторая убывает. Поэтому, если уравнение имеет корень, он единственный. Теперь заметим, что x=2 - корень уравнения. Действительно, , верно. Так, мы решили это уравнение, получив, что его корень x=2.

Тогда решение неравенства с учетом ОДЗ:

Итого имеем:

Найдем пересечение:

Задание выполнено!

1) -0,5x^4=x-4
  Можно сделать графически.
  Левая часть:  y = -0,5x⁴     
  График - квадратичная парабола, ветви направлены вниз.
  Правая часть: y = x - 4
  График - прямая линия, не параллельная осям координат. Пересекает параболу в двух точках.
  ответ:  уравнение имеет 2 действительных корня.

2)  y=(x-2)^2+4 на отрезке [0;3]
  Квадратичная функция, ветви направлены вверх. Наименьшим значением будет вершина параболы.
Координаты вершины параболы:    х=2 (из уравнения функции), у = 4.

Подставить границы интервала в уравнение функции и выбрать наибольшее:
y = (x - 2)² + 4 = (0 - 2)² + 4 = 8
y = (x - 2)² + 4 = (3 - 2)² + 4 = 5

Наибольшее значение функции на отрезке [0; 3]    y = 8 в точке x = 3.
Наименьшее значение функции на отрезке [0; 3]    y = 4 в точке  x = 2.