При каких значениях k значение произведения корней квадратного уравнения x^2+(k^2-7k+12)=0 равно нулю?

Произведение равно нулю в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этой не теряет смысла.



D = 49 - 4 • 12 = 49 - 48 = 1

k1 = ( 7 - 1 ) / 2 = 6 / 2 = 3

k2 = ( 7 + 1 ) / 2 = 8 / 2 = 4

ОТВЕТ: 3 ; 4.

по т.Виета х1+х2=0

х1*х2=к²-7к+12

к²-7к+12=0

к=3; к=4.

Дана функция у = (-1/3)x^3+x^2.
1-найти область определения функции и определить точки разрыва - ограничений нет, D = R, разрывов нет.
2-Выяснить является ли чётной или нечётной.
Проверим функци чётна или нечётна с соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
 f(-x) = (-1/3)x³ + x²  = (1/3)x³ + x² 
- Нет
 -f(-x) = -((-1/3)x³ + x²) = -((1/3)x³ + x²) = -(1/3)x³ - x² 
- Нет, значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
3-определить точки пересечения функции с координатными осями .
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
(-1/3)x³+ x² = 0.
-x³ + 3x² = 0.
-x²(x-3) = 0.
Имеем 2 корня: х = 0 и х = 3.
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в y = (-1/3)x^3 +x^2.
y = (-1/3)0³+0² = 0. Точка: (0, 0) 
4-найти критические точки функции.
Находим производную и приравниваем её нулю:
y' = -x²+2x = -x(x-2).
Имеем 2 критические точки: х = 0 и х = 2.
5-определить промежутки монотонности 
(возрастания,убывания).
Исследуем поведение производной вблизи критических точек.
х =                -0.5    0    0.5      1.5     2     2.5
y'=-x^2+2x   -1.25    0   0.75    0.75    0   -1.25
Где производная отрицательна - функция убывает, где положительна - функция возрастает.
Возрастает на промежутке
[0, 2]
Убывает на промежутках
(-oo, 0] U [2, oo)
6-определить точки экстремума.
Они уже найдены: это 2 критические точки: х = 0 и х = 2.
Где производная меняет знак с - на + это минимум функции, а где с + на - это максимум функции.
Минимум функции в точке: x = 0,
Максимум функции в точке: х = 2.
7 -определить максимальное и минимальное значение функции.
Значения функции в экстремальных точках:
х = 2, у = (-1/3)*2³+2² = -8/3 + 4  = 4/3,
х = 0, у = 0.
8- определить промежутки вогнутости и выпуклости кривой,найти точки перегиба.
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2/dx2f(x)=0(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции,
d2/dx2f(x)= -2х + 2 =-2(x−1)=0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=1
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, 1]
Выпуклая на промежутках
[1, oo)

Чтобы найти экстремумы, решаем уравнение y'(x)=0;
y'(x)=3x^2+20x+25; приравниваем к нулю.
3x^2+20x+25=0;
D=400-4*3*25=100;
x1=(-20+10)/6=-1,(6);
x2=(-20-10)/6=-5;
Это точки экстремумов.
Теперь надо взять вторую производную функции в этих точках.
y''(x)=6x+20;
y''(x1)=6*(-1.6666)+20=10 (округлённо). Это больше нуля, значит это точка локального минимума функции.
y''(x2)=6*(-5)+20=-10 Это меньше нуля, значит это точка локального минимума функции.
То есть от -бесконечности до -5 функция возрастает, от -5 до -1,(6) убывает и от -1,(6) до +бесконечности опять возрастает.