Докажите что при любом натуральном значении n выражения (9n+2)^2-(5n-2)^2 делиться нацело на 56

(9n + 2)²- (5n - 2)² = (9n + 2 + 5n - 2)(9n + 2 - 5n + 2) = 14n * (4n + 4) =

= 14n * 4(n + 1) = 56n(n + 1)

Если один из множителей делится нацело на 56, то и всё произведение делится нацело на 56.

X³-x²-8x+6=0
Разложим одночлены в сумму нескольких
x³-3x²+2x²-6x-2x+6=0
(x³-3x²)+(2x²-6x)-(2x-6)=0 - в скобки это сгруппировано для того чтоб вынести общий множитель
x²(x-3)+2x(x-3)-2(x-3)=0
(x-3)(x²+2x-2)=0
x-3=0
x1=3
x²+2x-2=0
 Вычислим дискриминант
D=b²-4ac=2²-4*(-2)=12; √D = 2√3
x2=(-b+√D)/2a=(-2+2√3)/2=-1+√3
x3=(-b-√D)/2a=(-2-2√3)/2=-1-√3

ответ: -1-√3; -1+√3; 3.

4x⁴-8x³+3x²+2x-1=0
(4x⁴-8x³+3x²)+(2x-1)=0
(2x³-3x²+1)(2x-1)+(2x-1)=0
(2x³-3x²+1)(2x-1)=0
Произведение равно нулю
x³-3x²+1=0
 Разложим опять же в сумму нескольких
2x³-2x²-x²+x-x+1=0
2x²(x-1)-x(x-1)-(x-1)=0
(x-1)(2x²-x-1)=0
x-1=0
x1=1
2x²-x-1=0|:2
x²-0.5x-0.5=0
По т. Виета
x2=-0.5
x3=1
2x-1=0
x4=0.5

ответ: -0.5; 0.5; 1.

Решение: 
1) область определения (-∞; ∞) 
2) множество значений функции (-∞; ∞) 
3) Проверим является ли функция четной или не четной: 
y(x)=1/6x³-x²+1 
y(-x)=-1/6x³-x²+1, Так как у (-х) ≠-у (х) у (-х) ≠у (х) , то функция не является ни четной ни не четная. 
4) Найдем нули функции: 
при х=0; у=1 - график перечекает ось ординат в точке (0;1) 
при у=0 получаем уравнение: 1/6x³-x²+1=0 
уравнение не имеет рациональных корней. 
5) Найдем промежутки возрастания и убывания функции а так же точки экстремума: 
y'=0.5x²-2x; y'=0 
0.5x²-2x=0 
0.5x(x-4)=0 
x1=0 
x2=4 
Так как на промежутках (-бескон; 0) и (4; бесконеч) y'> 0, то на этих промежутках функция возрастатет. 
Так как на промежуткe (0;4) y'< 0, то на этом промежутке функция убывает. 
Так как при переходе через точку х=4 производная меняет свой знак с - на + то в этой точке функция имеет минимум: у (4 )=64/6-16+1=-13/3 
Так как при переходе через точку х=0 производная меняет свой знак с + на - то в этой точке функция имеет максимум: у (0 )=1 
6) Найдем промежутки выпуклости и точки перегида: 
y"=x-2; y"=0 
x-2=0 
x=2 
Tак как на промежуткe (-бесконеч; 2) y"< 0, то на этом промежутке график функции направлен выпуклостью вверх 
Так как на промежутке (2; бескон) y"> 0, то на этом промежутке график функции направлен выпкулостью вниз. 
Точка х=2; является точкой перегиба. 
у (2)=8/6-4+1=-5/3 
7) проверим имеет ли график данной функции асимптоты^ 
а) так как функция не имеет точек разрыва, то она не имеет вертикальных асимптот. 
Проыерим имеет ли она наклонные асимптоты вида y=kx+b: 
k=lim (прих->∞) (y(x)/x)=lim (прих->∞) (1/6x²-x+1/x)=∞ 
Так как предел бесконечен, то наклонных асимптот функция не имеет