Выражение: ( 5x^2y+x^4−4y)+(−2y+2x^4 + 8 x^2y)

( 5x^2y+x^4−4y)+(−2y+2x^4 + 8 x^2y) =

5x^2y + x^4 - 4y - 2y + 2x^4 + 8x^2y =

5x^2y + 8x^2y + x^4 + 2x^4 - 4y - 2y =

        13x^2y  +  3x^4  - 6y

1)   cos(sin(x) )

Заметим что  :  -π/2<-1<=sinx<=1<π/2

sin x  лежит внутри интервала [-π/2 ;π/2]

Вывод:

тк  сos(x)-четная функция,то    на этом промежутке косинус принимает положительное значение : cos(sin(x) )>0 (0 не  может быть тк |sin(x)|<π/2)

2)   sin( 2+cos(x) )

        -1<=cos(x)<=1

      0<1<=2+cos(x)<=3<π

   sin( 2+cos(x) ) лежит внутри промежутка [0;π]

 Тк   sin(π-x)=x , то  это равносильно : [0;π/2]

Таким образом:   sin( 2+cos(x) )>0  (     0 не может быть 0<2+cosx<π)

3)  сos(π+arcsin(x))

Из формулы приведения:

 cos(π+arcsin(x))=-cos(arcsin(x) )

Заметим что область значений arcsin x ограничена:

   arcsin(x)∈[-π/2;π/2]

 Тогда по тем же рассуждениям что и в  1)

сos(arcsin(x))>=0  (исключением является то что  здесь  возможно равенство  нулю ,тк  arcsin(x)=+-π/2  (x=+-1)  cos(+-π/2)=0 )

-сos(arcsin(x))<=0 → cos(π+arcsin(x))<=0

 

         

   

   

План-конспект урока

Алгебра

8 класс

Тема: Доказательство неравенств

Цель:

Образовательная: формирование умений доказательства неравенств, формирование

Этапы занятия:

Организационный момент.

Актуализация опорных занятий.

Усвоение новых знаний и действий.

Первичное закрепление знаний и действий.

Контроль и самопроверка знаний, рефлексия.

Подведение итогов занятий.

ХОД ЗАНЯТИЯ

1. Организационный момент. Подготовка учащихся к работе на занятии.

2. Подготовка к основному этапу. Обеспечение мотивации, значимости изучаемой темы занятия и принятия учащимися учебно-познавательной деятельности, актуализация опорных знаний.

а) С неравенств сравниваются большие и малые величины;

b) Во С какого приема мы умеем доказывать неравенство вида aответ:

- Один из приемов доказательства неравенства ab) сводят к доказательству равносильного ему неравенства a-b<0 (a-b>0);

c) Повторим данное доказательство на примере неравенства Коши.

“Среднее арифметическое неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического”:



Доказать: 

Доказательство: Рассмотрим разность левой и правой частей неравенства:



Неотрицательность квадрата любого вещественного числа очевидна.

Значит,   – верное неравенство.

3.

a) Во Попробуем сформулировать другой прием.

ответ (учитель ответить на во Другой прием состоит в том, чтобы показать, что данное неравенство является следствием некоторого очевидного неравенства:

(a-b)2  0, (a+b)2  0 или неравенства Коши   , при а0, b0, выражающее соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим двух неотрицательных чисел;

b) Докажем, что (a+b)(ab+1)  4ab, при а0, b0.

Доказательство: Рассмотрим a+b и ab+1.

Используем очевидное неравенство Коши:



второго множителя.



Перемножим получившиеся неравенства:



с) Так же используют следующий прием: предполагают, что данное неравенство верно при заданных значениях переменных, строят цепочку неравенств-следствий, приводящую к некоторому очевидному неравенству. Рассматривая затем эту цепочку неравенств снизу вверх, показывают, что данное неравенство является следствием полученного очевидного неравенства и потому верно при указанных значениях переменных.

Значит, доказательство (a+b)·(ab+1)  4ab, при а0, b0 можно выполнить другим Допустим, что при а0, b0 данное неравенство верно, т.е.:



Используя неравенство Коши дважды для каждого множителя, имеем:



Значит, (a+b)·(ab+1)  4ab, при а0, b0, что и требовалось доказать.

4. Докажем: 

Доказательство: Допустим, что данное неравенство верно.



Получили очевидное неравенство.

Значит, данное неравенство  верно.

Во Мы можем привести доказательство данного неравенства из очевидного неравенства (a+b-2)2  0?

ответ: Да, для этого сделаем обратные шаги (рассказать по готовой записи)

Объяснение:

как то так, неуверен