Не понимаю. докажите, что при любых n выражение n^4+2n^3+3n^2+2n делится на 8 без остатка.

Решение во вложении. Поставил значение целого честного и нечётного числа. Все зн-я n/8 без остатка.

1. Прежде всего, разобьем это выражение на множители:

n^4+2n^3+3n^2+2n=n*(n^3+2n^2+3*n+2)

Разделив столбиком многочлен n^3+2n^2+3*n+2 на (n+1), получаем (n^2+n+2). Т.е. исходный многочлен может быть представлен в следующем виде:

n^4+2n^3+3n^2+2n=n*(n+1)*(n^2+n+2)

2. Теперь рассмотрим 2 случая:

а). Пусть n - четное число, т.е. делится на 2 без остатка, тогда

n делится на 2 без остатка;

(n+1), будучи числом нечетным, не делится на 2 без остатка;

Теперь рассмотрим n^2+n+2:

n - четное, значит n^2 - тоже четное, и n^2+n - тоже четное, т.е. делится на 2 без остатка. Т.к. n^2+n уже делится на 2 без остатка, то n^2+n+2 также еще раз разделится на 2 без остатка => (n^2+n+2)/2=((n^2+n)/2) + 2/2=((n^2+n)/2)+1.

Получаем, что исходное выражение можно три раза разделить на 2, т.е. разделить на 8.

б). Пусть n - нечетное, т.е. не делится на 2 без остатка, тогда

n не делится на 2 без остатка;

(n+1), будучи числом четным, делится на 2 без остатка;

n - нечетное, значит n^2 - тоже нечетное, а n^2+n - уже четное, т.к. к нечетному n^2 прибавляем нечетное n. И аналогично, т.к. n^2+n уже делится на 2 без остатка, то n^2+n+2 также еще раз разделится на 2 без остатка.

Получаем, что исходное выражение можно три раза разделить на 2, т.е. разделить на 8.

Нечётные цифры  :   1, 3, 5, 7, 9

В ребусе крайние слева и справа - равные цифры.

1 < 3 < 7 > 5 > 1           C=1;  И=3;  Н=7; У=5

1 < 5 < 7 > 3 > 1           C=1;  И=5;  Н=7; У=3

1 < 3 < 9 > 5 > 1           C=1;  И=3;  Н=9; У=5

1 < 5 < 9 > 3 > 1           C=1;  И=5;  Н=9; У=3

1 < 3 < 9 > 7 > 1           C=1;  И=3;  Н=9; У=7

1 < 7 < 9 > 3 > 1           C=1;  И=7;  Н=9; У=3

1 < 5 < 9 > 7 > 1           C=1;  И=5;  Н=9; У=7

1 < 7 < 9 > 5 > 1           C=1;  И=7;  Н=9; У=5

3 < 5 < 9 > 7 > 3         C=3;  И=5;  Н=9; У=7

3 < 7 < 9 > 5 > 3         C=3;  И=7;  Н=9; У=5

ответ : ребус имеет 10 решений

Нечётные цифры  :   1, 3, 5, 7, 9

В ребусе крайние слева и справа - равные цифры.

1 < 3 < 7 > 5 > 1           C=1;  И=3;  Н=7; У=5

1 < 5 < 7 > 3 > 1           C=1;  И=5;  Н=7; У=3

1 < 3 < 9 > 5 > 1           C=1;  И=3;  Н=9; У=5

1 < 5 < 9 > 3 > 1           C=1;  И=5;  Н=9; У=3

1 < 3 < 9 > 7 > 1           C=1;  И=3;  Н=9; У=7

1 < 7 < 9 > 3 > 1           C=1;  И=7;  Н=9; У=3

1 < 5 < 9 > 7 > 1           C=1;  И=5;  Н=9; У=7

1 < 7 < 9 > 5 > 1           C=1;  И=7;  Н=9; У=5

3 < 5 < 9 > 7 > 3         C=3;  И=5;  Н=9; У=7

3 < 7 < 9 > 5 > 3         C=3;  И=7;  Н=9; У=5

ответ : ребус имеет 10 решений