Решить тригонометрические уравнения 1)18tg^2x+3tgx-10=0 2)5cosx-2sinx=0 3)4cos^2x+3cosx=0

1) 18tg²x + 3tgx - 10 = 0
Пусть t = tgx.
18t² + 3t - 10 = 0
D = 9 + 4•10•18 = 729 = 27²
t1 = (-3 + 27)/36 = 24/36 = 2/3
t2 = (-3 - 27)/36 = -30/36 = -5/6
Обратная замена:
tgx = 2/3
x = arctg(2/3) + πn, n ∈ Z
tgx = -5/6
x = arctg(-5/6) + πn, n ∈ Z.

2) 5cosx - 2sinx = 0
-2tgx + 5 = 0
-2tgx = -5
tgx = 2/5
x = arctg(2/5) + πn, n ∈ Z.

3) 4cos²x + 3cosx = 0
cosx(4cosx + 3) = 0
cosx = 0
x = π/2 + πn, n ∈ Z
4cosx + 3 = 0
4cosx = -3
cosx = -3/4
x = ±arccos(-3/4) + 2πn.

Доказать неравенство: а⁴+b⁴ ≥ a³b+ab³

Тут штука такая: надо просто помнить, что если a > b, значит, a - b > 0

Эти 2 неравенства друг без друга "жить не могут". если надо доказать 1-е, надо смотреть 2-е и наоборот. Вот, давай посмотрим:

Нам надо доказать ≥.

Значит, будем смотреть разность и она должна быть ≥ 0

а⁴+b⁴ - a³b - ab³ = (а⁴ - а³b) + (b⁴ - ab³)= a³(a - b) -b³(a - b) =

=(a - b)(a³ - b³) = (a - b)(a - b)(a² +ab +b²) = (a - b)²(a² +ab + b²) - а это выражение всегда ≥ 0 ( первая скобка в квадрате, а во второй скобке сумма квадратов двух чисел всегда > их произведения.) , ⇒

⇒ а⁴+b⁴ ≥ a³b+ab³

task/30046661    

m/n ; m ∈ ℕ ; n ∈ ℕ ;  n = m³ +2  ; (m+1)/n  <  1/8 ; (m+3)/(n+2) < 1/4 . m ,n ?

решение              ( m+1 ) / n > 1 / 8     ⇔    8m+8  > n    (1) ;

(m+3) / (n+2) < 1 / 4 ⇔ 4m +12 < n+2  ⇔   n > 4m +10   (2)  .

Из двух неравенств  (1) и (2) заключаем  4m +10 < n < 8m+8, || n = m³+2 || 4m + 10 < m³+2 < 8m+8 ⇔4m + 8 < m³ < 8m+6  из  натуральных (m ∈ ℕ ) только  m = 3 ;  n =m³ +2 =3³ +2=29 .

* * *  графически  y = 4m +8  , y =m³ , y =8m+6)  или лучше отбором * * *

ответ:  3 / 29 .