8. на координатной плоскости отметили точки, у которых координаты – натураль-ные числа, не превосходящие 9. найдите сумму координат этих точек.

каждая из точек имеет 2 координаты. всего возможно отметить 9 точек с абсциссой 1, ординаты которых будут от 1 до 9; аналогично для остальных координат, выраженных натуральными числами от 2 по 9. всего 81 точка, 81*2=162 координаты. в записи координат этих точек каждое из чисел от 1 до 9 включительно встречается 18 раз. общая их сумма равна

(1+2+3+4+5+6+7+8+9)*18=45*18=810

ответ: 810.

{a₂₀=-40         {a₁+19d=-40|*(-1)         {-a₁-19d=40 {a₃₅=-55   =>   {a₁+34d=-55           => { a₁+34d=-55 +                                                             15d=-15                                                               d=-15: 15                                                               d=-1 ответ: d=-1

4x^2 + 24xy + 11y^2 = 20 несложная, но много писанины. замена, означающая поворот системы координат на угол а. цель - избавиться от члена 24xy. u, v - новые координаты. x = u*cos a + v*sin a y = u*sin a - v*cos a 4(u*cos a + v*sin a)^2 + 24(u*cos a + v*sin a)(u*sin a - v*cos a) + + 11(u*sin a - v*cos a)^2 = 20 4(u^2*cos^2 a + 2uv*sin a*cos a + v^2*sin^2 a) + + 24(u^2*sin a*cos a + uv*sin^2 a - uv*cos^2 a - v^2*sin a*cos a) + + 11(u^2*sin^2 a - 2uv*sin a*cos a + v^2*cos^2 a) = 20 4u^2*cos^2 a + 8uv*sin a*cos a + 4v^2*sin^2 a + + 24u^2*sin a*cos a + 24uv*sin^2 a - 24uv*cos^2 a - 24v^2*sin a*cos a + + 11u^2*sin^2 a - 22uv*sin a*cos a + 11v^2*cos^2 a = 20 u^2*(4cos^2 a+24sin a*cos a+11sin^2 a) + + v^2*(4sin^2 a-24sin a*cos a+11cos^2 a) + + uv*(24sin^2 a - 14sin a*cos a - 24cos^2 a) = 20 находим, при каком угле а скобка при uv равна 0 24sin^2 a - 14sin a*cos a - 24cos^2 a = 0 делим все на 2cos^2 a 12tg^2 a - 7tg a - 12 = 0 квадратное уравнение относительно tg a d = 7^2 - 4*12(-12) = 49 + 576 = 625 = 25^2 tg a = (7 - 25)/24 < 0 - не подходит tg a= (7 + 25)/24 = 32/24 = 4/3 - подходит. нетрудно посчитать, что sin a = 4/5; cos a = 3/5 подставляем в уравнение u^2*(4cos^2 a+24sin a*cos a+11sin^2 a) + + v^2*(4sin^2 a-24sin a*cos a+11cos^2 a) + + uv*(24sin^2 a - 14sin a*cos a - 24cos^2 a) = 20 получаем u^2*(4*9/25 + 24*4/5*3/5 + 11*16/25) + + v^2*(4*16/25 - 24*4/5*3/5+11*9/25) + uv*0 = 20 u^2*(36/25+288/25+176/25) + v^2*(64/25-288/25+99/25)=20 u^2*500/25 - v^2*125/25 = 20 20u^2 - 5v^2 = 20 u^2 - v^2/4 = 1 это гипербола  с центром (0, 0) и полуосями 1 и 2 чертеж сами делайте, я в пайнте не могу.