найдите наименьшее натуральное число, принадлежащее области определения функции f(x)= корень из x+2/x-1

f(x) =

x + 2 ≥ 0             x - 1 ≠ 0

x ≥ -2                   x ≠ 1

x ∈ [-2; +∞)

окончательно: d(f) =   [-2; 1) ∪ (1; +∞)

-2, -1, 0 - числа целые

1 - не подходит

значит, 2

ответ: 2

Доказательство методом математической индукции
База индукции. При n=1 утверждение справедливо.
Действительно

Гипотеза индукции. Пусть утверждение выполняется для некоторого натурального n=k, т.е. верно равенство


Индукционный переход. Докажем что тогда утверждение справедливо при n=k+1, т.е. что справедливо равенство

или переписав правую сторону равенства, предварительно упростив



используем гипотезу


Согласно принципу математической индукции данное утверждение справедливо для любого натурального n. Доказано

Доказательство можно провести по индукции.
Шаг 1. При n = 1 имеем 1 * 2 * 3 = (1 / 4) * 1 * 2 * 3 * 4 - верно.
Шаг 2. Предположим, что данное равенство верно, при n = k, то есть:
1 * 2 * 3 + 2 * 3 * 4 + ... + k * (k + 1) * (k + 2) = (1 / 4) * k * (k + 1) * (k + 2) *
(k + 3) - верно. 
Шаг 3. Докажем верность равенства для n = k + 1. Имеем:
1 * 2 * 3 + 2 * 3 * 4 + ... + k * (k + 1) * (k + 2) + (k + 1) * (k + 2) * (k + 3) = 
(1 / 4) * (k + 1) * (k + 2) * (k + 3) * (k + 4). Перенесём последнее слагаемое левой части вправо с обратным знаком, а в правой части раскроем скобки последнего множителя (k + 4) почленно перемножив:
1 * 2 * 3 + 2 * 3 * 4 + ... + k * (k + 1) * (k + 2) = 
((1 / 4) * k * (k + 1) * (k + 2) * (k + 3)) +
((1 / 4) * 4 * (k + 1) * (k + 2) * (k + 3) - (k + 1) * (k + 2) * (k + 3)). Заметим, что в правой части второе слагаемое равно 0, а оставшееся равенство верно по предположению Шага 2. Доказано.