Довести , що n^5-5n^3+4n ділиться на 120

1)
f'(x)=2x+2f′(x)=2x+2 
2x+2=02x+2=0 
x=(-1)x=(−1) 

Интервал и их знаки:
(-\infty,-1)=-(−∞,−1)=− 
(-1,+\infty)=+(−1,+∞)=+ 

Точка -1, точка минимума.

2)
f'(x)=6x^2+2xf′(x)=6x2+2x 
6x^2+2x=06x2+2x=0 
x(6x+2)=0x(6x+2)=0 
x_{1,2}=0,(- \frac{1}{3})x1,2​=0,(−31​) 
Интервалы и знаки:
(-\infty,- \frac{1}{3})=+(−∞,−31​)=+ 
(- \frac{1}{3},0)=-(−31​,0)=− 
(0,+\infty)=+(0,+∞)=+ 

То есть:
- \frac{1}{3}−31​ - точка максимума.
0-точка минимума.

3)
f'(x)=12x^2+18x-12f′(x)=12x2+18x−12 
12x^2+18x-12=012x2+18x−12=0 
x_{1,2}= \frac{-18\pm30}{24}=(-2), 0.5x1,2​=24−18±30​=(−2),0.5 
(-\infty,-2)=+(−∞,−2)=+ 
(-2,0.5)=-(−2,0.5)=− 
(0.5,+\infty)=+(0.5,+∞)=+ 

-2=\max−2=max 
0,5=\min0,5=min 

4)

f'(x)=3x^2-2x-1f′(x)=3x2−2x−1 
3x^2-2x-1=03x2−2x−1=0 
x_{1,2}= \frac{2\pm 4}{6}=1,(- \frac{1}{3})x1,2​=62±4​=1,(−31​) 

(-\infty,- \frac{1}{3})=+(−∞,−31​)=+ 
(- \frac{1}{3},1)=-(−31​,1)=− 
(1,+\infty)=+(1,+∞)=+ 

- \frac{1}{3}=\max−31​=max 
1=\min1=min 

Сначала решаем соотв. однородное уравнение, запишем его характеристическое уравнение

\lambda^2-6\lambda+9=0λ

2

−6λ+9=0

имеем случай кратных действительных корней, значит общее решение однородного уравнения

y(x)=C_1*e^{3x}+C_2*x*e^{3x}y(x)=C

1

∗e

3x

+C

2

∗x∗e

3x

Далее применим метод вариации. Тогда

\begin{gathered} \left( < br / > \begin{array}{cc} < br / > e^{3 x} & e^{3 x} x \\ < br / > 3 e^{3 x} & 3 x e^{3 x}+e^{3 x} \\ < br / > \end{array} < br / > \right) * \left( < br / > \begin{array}{c} < br / > C_1'(x) \\ < br / > C_2'(x) \\ < br / > \end{array} < br / > \right)=\left( < br / > \begin{array}{c} < br / > 0 \\ < br / > 9 x^2-12 x+2 \\ < br / > \end{array} < br / > \right) \end{gathered}

⎝

⎛

<br/>

<br/>e

3x

<br/>3e

3x

<br/>

e

3x

x

3xe

3x

+e

3x

<br/>

⎠

⎞

∗

⎝

⎛

<br/>

<br/>C

1

′

(x)

<br/>C

2

′

(x)

<br/>

<br/>

⎠

⎞

=

⎝

⎛

<br/>

<br/>0

<br/>9x

2

−12x+2

<br/>

<br/>

⎠

⎞

Откуда получим

C_1'(x)=-e^{-3x}*x*(9x^2-12x+2), < br / > C_2'(x)=e^{-3x}*(9x^2-12x+2)C

1

′

(x)=−e

−3x

∗x∗(9x

2

−12x+2),<br/>C

2

′

(x)=e

−3x

∗(9x

2

−12x+2)

Интегрированием находим

C_1(x)=-e^{-3 x}(x^2 - 3 x^3)+A, C_2(x)=e^{-3 x} (2 x - 3 x^2)+BC

1

(x)=−e

−3x

(x

2

−3x

3

)+A,C

2

(x)=e

−3x

(2x−3x

2

)+B

Следовательно общее решение уравнения запишется как (переобозначим константы A и B )

y(x)=(-e^{-3 x}(x^2 - 3 x^3)+C_1)*e^{3x}+(e^{-3 x} (2 x - 3 x^2)+C_2)*x*e^{3x}y(x)=(−e

−3x

(x

2

−3x

3

)+C

1

)∗e

3x

+(e

−3x

(2x−3x

2

)+C

2

)∗x∗e

3x

или

y(x)=C_1*e^{3x}+x*C_2*e^{3x}+x^2y(x)=C

1

∗e

3x

+x∗C

2

∗e

3x

+x

2

Соотв. постоянные для нашей задачи Коши находятся из системы

\left \{ {{y(0)=0} \atop {y'(0)=3}} \right.{

y

′

(0)=3

y(0)=0

Откуда

\left \{ {{C_1=0} \atop {C_2=3}} \right.{

C

2

=3

C

1

=0