Обчислити площу фігури обмеженої лініями : y=x^2-2x+3, y=5-x

Объяснение:

Дано: F(x) = x² -2*x + 3,  y(x)= -x+5

Найти: S=? - площадь фигуры

1) Находим точки пересечения графиков: F(x)=y(x).

-x²+x+2=0 - квадратное уравнение

b =  - верхний предел, a = - 1 - нижний предел.

2) Площадь - интеграл разности функций. Прямая выше параболы.

s(x) =  y(x) - F(x) = -2 -x + x² - подинтегральная функция

3) Интегрируем функцию и получаем:

S(x) = -2*x -1/2*x² + 1/3*x³

4) Вычисляем на границах интегрирования.

S(b) = S(2) = -4 -2 + 2,67 = -3,33

S(a) = S(-1) = 2 -0,5 -0,33 = 1,17    

 S = S(-1)- S(2)  = 4,5(ед.²) - площадь - ответ

Рисунок к задаче в приложении.

В решении.

Объяснение:

220.

1) Построить графики: у = х²;      2х - 3у + 3 = 0.

Первый - классическая парабола, второй - прямая линия.

Преобразовать второе уравнение в уравнение функции:

2х - 3у + 3 = 0;

-3у = -2х - 3

3у = 2х + 3

у = (2х + 3)/3

у = 2х/3 + 1;

Придать значения х, подставить в уравнение, вычислить у, записать в таблицу.

             у = х²;                                             у = 2х/3 + 1;

                                     Таблицы:

х  -3     -2     -1     0     1     2     3                  х  -3     0     3

у   9      4       1     0     1     4     9                  у  -1      1      3

По вычисленным точкам построить графики.

Согласно рисунка, координаты точек пересечения графиков:

(-0,7; 0,5);  (1,4; 1,9).

2)

а) Решить графически систему уравнений:

у = х²

2х - 3у + 3 = 0

Графическое решение в 1).

Решения системы уравнений: (-0,7; 0,5);  (1,4; 1,9).

б) у = х²;

   у = 1/х;

Построить графики. Первый - классическая парабола, второй - гипербола.

Придать значения х, подставить в уравнение, вычислить у, записать в таблицу.

             у = х²;                                             у = 1/х;

                                     Таблицы:

х -3   -2   -1   0   1   2   3             х  -10     -5     -2   -1   0   1    2     5     10    

у  9    4    1    0   1   4   9             у  -0,1  -0,2  -0,5  -1    -   1  0,5  0,2  0,1

По вычисленным точкам построить графики.

Согласно рисунка, координаты точки пересечения графиков: (1; 1).

Решение системы уравнений:  (1; 1).

1440 дробей.

Объяснение:

Попробуем решить системой неравенств.

Нам нужно найти все дроби с числителем 2015, чтобы выполнялось:

1/2016 < 2015/x < 1/2015

Раскладываем на два неравенства:

Переносим всё налево:

Приводим обе системы к одному знаменателю 2015*2016*x:

Так как x > 0, то знаменатели > 0, значит, числители < 0:

1 неравенство делим на 2015, а 2 неравенство делим на 2016:

Разделяем переменные и числа:

Подходят все от 2015*2015 + 1 = 4060226 до 2015*2016 - 1 = 4062239

Всего таких дробей: 4062239 - 4060226 + 1 = 2014

Но нам нужны несократимые дроби.

То есть знаменатель x не должен иметь одинаковых делителей с 2015.

2015 = 5*13*31

Его делители: 5, 13, 31, 65, 155, 403.

Рассмотрим каждый из делителей:

5: Наименьшее кратное : 4060230. Наибольшее кратное : 4062235.

Всего таких чисел : (4062235 - 4060230) : 5 + 1 = 402

13: Наименьшее кратное : 4060238. Наибольшее кратное : 4062227.

Всего таких чисел : (4062227 - 4060238) : 13 + 1 = 154

31: Наименьшее кратное : 4060256. Наибольшее кратное : 4062209.

Всего таких чисел : (4062209 - 4060256) : 31 + 1 = 64

65: Наименьшее кратное : 4060290. Наибольшее кратное : 4062175.

Всего таких чисел : (4062175 - 4060290) : 65 + 1 = 30

155: Наименьшее кратное : 4060380. Наибольшее кратное : 4062085.

Всего таких чисел : (4062085 - 4060380) : 155 + 1 = 12

403: Наименьшее кратное : 4060628. Наибольшее кратное : 4061837.

Всего таких чисел : (4061837 - 4060628) : 403 + 1 = 4

Это значит вот что.

Из 402 чисел, кратных 5, есть 30 чисел, кратных 65, то есть кратных 13.

Поэтому они вошли в два списка: кратных 5 и кратных 13.

Их надо один раз вычесть.

Также, из этих 402 чисел нужно вычесть 12 чисел, кратных 155 = 5*31.

И из 154 чисел, кратных 13, нужно вычесть 4 числа, кратных 403 = 13*31.

Таким образом, получается всего нужно вычеркнуть:

402 + 154 + 64 - 30 - 12 - 4 = 574

И всего получается:

2014 - 574 = 1440 несократимых дробей.