При каких натуральных n и k многочлен x^n-1 делится без остатка на многочлен x^k-1?

Очевидно ,  что многочлен меньшей  степени не  может делится на  больший ,  тогда n>=k .

Таким образом можно записать :

n=m*k +t  t-остаток от деления n  на k    ( t=0,1,2,3k-1)  ( t<k)

Запишем :

x^n-1 = x^(m*k+t) -1 = x^(m*k) * x^t  -1 =  x^(m*k) *x^t -x^t +x^t -1 =

= x^t*( x^(m*k) -1 )  +(x^t -1)

Многочлен : x^t*( x^(m*k) -1 )   делится на  x^(k) -1  поскольку если поделить на x^k-1  многочлен в скобках получаем геометрическую прогрессию  :

(x^(m*k) -1 )/(x^(k) -1) = 1+x^k +x^2k ... +x^k*(m-1)

Пусть остаток  t≠0

Тогда  поскольку t < k ,  то   x^t -1 не делится на x^k -1  .

А  значит очевидно,что   весь многочлен :

x^t*( x^(m*k) -1 )  +(x^t -1)  не делится на  x^k -1

Таким  образом x^n-1  делится  на x^k-1 ,  только  когда  остаток t=0.

Иначе говоря n должно  делится на k

 Основание АD трапеции ABCD лежит в плоскости α .Через точки B и C проведены параллельные прямые , пересекающие плоскость α в точках E и F соответственно.
           1) Каково взаимное расположение прямых EF и AB? 
(Уточняем -  в плоскости α лежит только АД, а ВС - не лежит. В противном случае ВЕ и СF  не пересекали бы плоскость α, а лежали в ней).
ВС параллельна АD ⇒ параллельна плоскости α.
АD параллельна  ВС, ЕF параллельна ВС.  Две прямые , параллельные третьей прямой, параллельны.
 ⇒ ЕF параллельна АD и параллельна плоскости АВСD, но не параллельна АВ, которая пересекается с АD. 
⇒ Прямые EF и AB - скрещивающиеся.
             2) Чему равен угол между прямыми EF и AB, если ABC = 150°?

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным. 

Сумма углов при боковой стороне трапеции 180°, следовательно, угол ВАD=180°-150°=30°.

Проведем в плоскости ВЕF прямую ЕК, параллельную АВ.

 ЕК|║АВ;  ЕF║АD  Углы с соответственно параллельными сторонами равны, если они оба острые или оба тупые.⇒

 ∠FЕК=∠ВАD=30°

-----------

ВЕ и СF могут быть проведены в плоскости АВСD. 
Тогда ЕD будет лежать на АD и в этом случае непараллельные прямые EF и АВ лежат в одной плоскости. Тогда АВ  и  EF пересекyтся. 

1)

30% числа k = 0,3a

35% числа p = 0,35p

0,3k > 0,35p на 20

Первое уравнение:

0,3k - 0,35p = 20

2)

20% числа k = 0,2а

30% числа p = 0,3р

0,3р > 0,2k на 8

Второе уравнение:

0,2k + 8 = 0,3p

3)

Решаем систему.

{0,3k-0,35р = 20

{0,2k - 0,3р = - 8

Первое умножим на 2, а второе умножим на (-3)

{0,6k-0,7р = 40

{-0,6k+0,9р = 24

Сложим

0,6k-0,7р -0,6k+0,9р = 40+24

     0,2р = 64

          р = 64 : 0,2

          р = 320

В первое уравнение 0,3k - 0,35p = 20 подставим р = 320.

0,3k - 0,35·320 = 20

0,3k - 112 = 20

0,3k = 112 + 20

0,3k = 132

    k = 132 : 0,3

    k = 440

ответ: k = 440;

          р = 320.