Найдите все значения параметра a, при которых корни уравнения x^2 + 2ax + 2a - 1 связаны соотношением x1 : x2 = 3 : 1.

x^2+2ax+2a-1=0

найдём дискриминант

d=(2a)^2-4*1*(2a-1)=4aa-8a+4=(2a-2)^2

нас интересует только когда существует два корня уравнения ,

а значит d> 0 , это выполняется когда  a  не равно 1

тогда первый корень будет равен

(-2a+d^(1/2)): 2=(-2a+2a-2): 2=-1

второй корень уравнения равен

(-2а-d(1/2)): 2=(-2a-(2a-2)): 2=(-4a+2): 2=-2a+1

соотношение корней равно 3: 1

(-1): (-2a+1)=3: 1

2a-1=1/3

2a=1+1/3

2a=4/3

a=2/3 - это решение проверим, подставив а=2/3,

получаем уравнение:

x^2+(4/3)x +1/3=0

корни этого уравнения равны -1 и -1/3

 

(-2а+1): (-1)=3: 1

2а-1=3

2а=4

а=2 

проверим решение, подставив а=2

получим уравнение

x^2+4x+3=0

корни этого уравнения -1 и -3

 

ответ: при а=2 и а=2/3

1/2(1-cos^2x)+sin^2x/2=0 1/2-1/2*cos^2x+(1-cosx)/2*cosx=0 1/2-1/2cos^2x+(cosx-cos^2x)/2=0 (1-cos^2x+cosx-cos^2x)/2=0 -2cos^2x+cosx+1=0 пусть t=cosx -2t^2+t+1=0 d=9 vd=3 t1=1 t2=-1/2 cosx=1                        сosx=-1/2 x=2пn                          x=+-(п-п/3)+2пn                                       х=+-2п/3+2пn ответ 2пn, 2п/3+2пn, -2п/3+2пn

обозначим числа x1, x2, x3, x4, разность арифметической прогрессии -d (минус, потому что она убывающая), тогда x2=x1-d, x3=x1-2d.

причём d > 0

знаменатель прогрессии обозначим q.

x3=x1-2d=x2*q=(x1-d)*q

x4=x2*q^2=(x1-d)*q^2

x1+x4=x1+(x1-d)*q^2=7

x2+x3=x1-d+x1-2d=6

из 4 уравнения

x1=(6+3d)/2=3+1,5d

x2=a1-d=3+0,5d

x3=a2-d=3-0,5d=(3+0,5d)*q

q=(3-0,5d)/(3+0,5d)

q^2=(3-0,5d)^2/(3+0.5d)^2

x1+x4=3+1,5d+(3+0,5d)(3-0,5d)^2/(3+0,5d)^2=7

3+1,5d+(3-0,5d)^2/(3+0,5d)=7

умножаем на знаменатель.

(3+1,5d)(3+0,5d)+(3-0,5d)^2=7(3+0,5d)

9+4,5d+1,5d+0,75d^2+9-3d+0,25d^2=21+3,5d

18+3d+d^2-21-3,5d=0

d^2-0,5d-3=0

2d^2-d-6=0

d=1-4*2(-6)=49=7^2

d1=(1-7)/4=-6/4< 0 -не подходит

d2=(1+7)/4=2> 0 - подходит.

d=2; x1=3+1,5d=3+3=6;

x2=6-2=4; x3=4-2=2;

q=x3/x2=2/4=0,5; x4=2*0,5=1.

ответ: 6; 4; 2; 1