ИССЛЕДОВАТЬ НА НЕПРЕРЫВНОСТЬ. ПОДРОБНО

a) функция - композиция  дробно-рациональной

t(x)=1/(x-1)  и показательной y=7^(t(x))

t(x)=1/(x-1) - непрерывна при х∈(-∞;1) U(1;+∞)  

y=7^(t(x)) - непрерывна при t∈(-∞;+∞)

Значит и данная функция непрерывна при x∈(-∞;1) U(1;+∞)  

Проверяем непрерывность в точке x=1

Находим предел слева:  lim (x→1-0)7^(1/(x-1))=0

x→1-0 тогда (1/(x-1))→-∞

7^(-∞)→0

Находим предел справа:lim (x→1+0)7^(1/(x-1))=+∞

x→1+0 тогда (1/(x-1))→+∞

7^(+∞)→+∞

x=1- точка разрыва второго рода ( один из односторонних пределов - бесконечный)

б)  y=x²  непрерывна на (-∞;+∞), а потому непрерывна и на [0;1]

y=2x+3 непрерывна на (-∞;+∞), а потому непрерывна и на (1;2]

Значит, надо исследовать непрерывность в точке х=1

Находим предел слева:  lim (x→1-0)x²=(1-0)²=1

Находим предел справа:lim (x→1+0)7=2·1+3=5

Предел слева не равен пределу справа.

Значит предел функции в точке не существует и потому

x=1- точка разрыва первого рода ( пределы конечны, но не равны, есть конечный скачок)

Для решения этих заданий нужно знать:

1) формулы сокращенного умножения: (а ± b)² = а² ± 2аb + b²,

   а² - b² = (а - b)(а + b), а³ - b³ = (а - b)(а² + аb + b²);

2) уметь раскладывать многочлены на множители:

   - вынесением за скобки общего множителя;

   - используя формулы сокращенного умножения;

   - используя группировки.

1) 25 - 12x + (x - 5)(x + 5) - (5 - x)² = 25 - 12х + х² - 5² - (5² - 2 · 5 · х + х²) =

   = 25 - 12х + х² - 25 - 25 + 10х - х² = -2х - 25;

2)

   а) 2ab - 3a = а(2b - 3);

   б) 6x⁶ + 8x² = 2x²(3x⁴ + 4);

   в) 1/4a² - 81 = (1/2a)² - 9² = (1/2a - 9)(1/2a + 9);

   г) x² - 12x + 36  = x² - 2 · x · 6 + 6² = (x - 6)².

3) y(x + 0,2) - 2,7(x + 0,2) = (x + 0,2)(у - 2,7);

   при x = 1,8, y = 16,7  (x + 0,2)(у - 2,7) = (1,8 + 0,2)(16,7 - 2,7) = 2 · 14 = 28;

4)

    а) 3x² + 12xy + 12y² = 3(х² + 4ху + 4у²) = 3(х² + 2 · х · 2у + (2у)²) =

         = 3(х + 2у)² ;

    б) 8a(b - 3) + c(3 - b)  = 8а(b - 3) - с(b - 3) = (b - 3)(8а - с);

    в) x² + 3x - 2xy - 6y  = х(х + 3) - 2у(х + 3) = (х + 3)(х - 2у);

5) (x - 1)(x² + x + 1) - x²(x - 1) = 0,

    х³ - 1 - х³ + х² = 0,

    х² - 1 = 0,

    (х - 1)(х + 1) = 0,

    х - 1 = 0      или х + 1 = 0

    х = 1                    х = -1

ответ: -1; 1.

Y=3 - 2x - x²

y = - x² - 2x + 3

1)  Область определения – множество значений х при которых функция имеет смысл. 
Область определения D(f) = ( -oo ; + oo)
т.к. нет ограничений (нет деления на  переменную, нет корней и т.д.)

Заметим что графиком будет парабола  
Старший коэффициент отрицательный => ветви параболы направлены вниз.

 2) Найдем координаты вершины: 


Найдем значение функции в вершине 

    Вершина ( -1 ; 4)   
Итак Вершина в точке (-1;4) и ветви вниз, значит это наибольшее значение. Теперь легко определить Область значений  
Значит область значений   E(f) = (-oo; 4]

3)   Промежутки возрастания, убывания:     
  f(х) возрастает на ( -оо ; - 1 )     
  f(х) убывает на   ( - 1 ; +оо)

4)  Нули функции:   
  - x² - 2x + 3 = 0       
x² + 2x - 3 = 0 
По теореме Виета 
x1+х2 = -2, 
x1х2 = -3       
  x1 = -3         
  х2 =1       
                                  + 
_________-3__________________1_________________                                         -                                                                   -
5) Промежутки знакопостоянства: 
    f(х) > 0   при х∈ ( -3 ; 1)   
  f(х) <  0   при х∈ ( - oo ; -3) ∪ ( 1 ; +оо )

6) Точка пересечения с осью OY   ( 0; 3)

Также можно проводить исследование функции с производной. 
но это уже другая тема.