Два равносильных противника играют в шахматы. для каждого из них что вероятнее выиграть: а) одну партию из двух или две из четырех; б) не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти. ничьи вовнимание не принимаются.

обозначим:

 

a(i) - игрок выиграл i-ю партию (вероятность этого события p = 1/2). ~a(i) - игрок проиграл i-ю партию (вероятность этого события q = 1 - p = 1/2).

 

p(m,n) - событие "игрок выиграл m партий из n".

 

s(m,n) - событие "игрок выиграл не менее m партий из n". s(m,n) - вероятность события "игрок выиграл не менее m партий из n"

 

c(k,n) = [n! /k! (n-k)! ]*p^k*q^(n-k) - вероятность k выигрышей и n-k проигрышей в n партиях для каждого из игроков. c(k,n) = [n! /k! (n-k)! ]*(1/2)^n, т.к. в нашем случае p = q = 1/2.

 

p(m,n) - вероятность события "игрок выиграл m партий из n": p(m,n) = c(m,n) = [n! /m! (n-m)! ]*p^m*q^(n-m) = [n! /m! (n-m)! ]*(1/2)^n

 

s(m,n) - вероятность события "игрок выиграл не менее m партий из n": s(m,n) = p(m,n) + p(m+1,n) ++ p(n,n).

 

а)

p(1,2) = [2! /(1! 1! )]*(1/2)^2 = 2*(1/4) = 1/2

p(2,4) = [4! /2! (2)! ]*(1/2)^4 = 6*(1/2)^4 = 3/8

 

следовательно, p(1,2) > p(2,4)

 

вероятность выигрыша одной партии из двух больше, чем вероятность выигрыша двух партий из четырех.

 

б)

s(2,4) = p(2,4) + p(3,4) + p(4,4) = 3/8 + 1/4 + 1/16 = 11/16

s(3,5) = p(3,5) + p(4,5) + p(5,5) = 10/32 + 5/32 +1/32 = 1/2

 

следовательно, s(2,4) > s(3,5)

 

вероятность выигрыша не менее двух партий из четырех больше, чем вероятность выигрыша не менее трех партий из пяти.

Точки   пересечения   графиков :   x²+1=x+1   ⇒   x²-x=0   ⇒ x(x-1)=0   ⇒ x1=0 ; x2 =1         1                               1                                     i1   s  =  i  ∫[(x²++1)]dx i = i  ∫(x²-x)dx i = i x³/3 -x²/2 i i =         0                               0                                   i0           = i 1/3 - 1/2 - 0 i = i -1/6 i = 1/6       s = 1/6

1) 1 - 3/2*sin(x/2+pi/3) = 0

3/2*sin(x/2+pi/3) = 1

sin(x/2+pi/3) = 2/3

а) x/2 + pi/3 = arcsin(2/3) + 2pi*n

x1 = 2*(-pi/3 + arcsin(2/3) + 2pi*n) = -2pi/3 + 2arcsin(2/3) + 4pi*n

б) x/2 + pi/3 = pi - arcsin(2/3) + 2pi*n

x2 = -2pi/3 + 2pi - 2arcsin(2/3) + 4pi*n = 4pi/3 - 2arcsin(2/3) + 4pi*n

2) 4tg(2x - pi/4) = 1

tg(2x - pi/4) = 1/4

2x - pi/4 = arctg(1/4) + pi*k

x = pi/8 + 1/2*arctg(1/4) + pi/2*k

3) ctg(pi/3 - 1/4*x) = 5/12

tg(pi/3 - x/4) = 12/5

tg(x/4 - pi/3) = -12/5

x/4 - pi/3 = -arctg(12/5) + pi*k

x = 4pi/3 - 4arctg(12/5) + 4pi*k

4) sin x + sin(3x) = 0

2sin(2x)*cos x = 0

а) sin(2x) = 0

2x = pi*k

x1 = pi/2*k

б) cos x = 0

x2 = pi/2 + pi*n

при нечетных k и четных n значения x2 входят в значения x1, поэтому

x = pi/2*k

5) cos(2x) - cos(6x) = 0

-2sin(4x)*sin(-2x) = 2sin(4x)*sin(2x) = 0

а) sin(4x) = 0

4x = pi*k

x1 = pi/4*k

б) sin(2x) = 0

2x = pi*n

x2 = pi/2*n

при четных k и любых n значения x2 входят в значения x1, поэтому

x = pi/4*k