Решите уравнение методом разложения на множители 1) √х⁵-3√х³-18√х=0 (2) ⁴√х⁹-2⁴√х⁵-15⁴√х=0 Решите уравнение методом введения новой переменной 3) √х²+1-2х) -6√х-1 =7 (4) √х²-4х+4)-6=5√2-х Решите уравнение, используя функционально-графические методы 5)2ˣ=6-х (6) (1/3)ˣ=х+4

Решите уравнение методом разложения на множители

1) √x⁵-3√x³-18√x= 0       ОДЗ : x≥0

x²√x -3x√x -18√x =0⇔ √x(x² -3x  -18) =0 ⇔x(x -6)(x+3) =0

x =0 ;  x =6 ; x = - 3 ∉ ОДЗ →посторонний корень.

2) ⁴√х⁹-2⁴√х⁵-15⁴√х=0               ОДЗ : x≥0

x²(⁴√х -2x⁴√х-15⁴√х) =0 ⇔  - 16⁴√х *x² =0  ⇒ x =0

Решите уравнение методом введения новой переменной

3) √(x²+1 - 2x )- 6√(x-1)  = 7

√(x - 1 )² - 6√(x-1)  = 7  ;  замена :  t =√(x-1) ≥ 0

t² -6t -7 = 0 ⇒ по Виету t₁ = 7 ; t₂= - 1 →посторонний

или t₁/₂ = 3 ± 4   * * * √D₁ = √(3² -(-7) ) =√(9+7) =√16 =4; D₁ =D/4 * * *  

√(x-1) =7 ⇔x- 1 =7²  ⇒ x= 50 .

* * *ИЛИ t² -6t -7 =0 t² -7t +t -7 =0 ⇔t(t -7) +(t -7) =0⇔(t -7)(t+ 1) =0 * * *

4) √(x²-4x+4) - 6=5√(2 -x)  

√(2-x)² - 6 = 5√(2 -x)      замена :  t =√(2-x) ≥ 0

t² -5t -6 =0 ⇒ по Виету  t₁ = 6 ; t₂= - 1 →посторонний

√(2 -x) =6 ⇔2 - x =6²⇒ x = 2 -36 = -34 .

Решите уравнение, используя функционально-графические методы

5) 2ˣ = 6-x  

у₁ =2ˣ →  (возрастающая  показательная функция: 2 >1 ) ;

{  ...(- 2 ; 1/4) , (- 1 ; 1/2) , (0 ; 1) , (1; 2) ,  (2 ; 4) ; ...} ∈  графику

y₂ = - x +6 → ( ||y = kx+b || убывающая линейная функция: k = - 1 < 0  ).

{  (0 ;6) , (6 ; 0) .    ||   (2 ; 4) }  ∈  графику   y₂

* * *  графики постройте  самостоятельно * * *

Пересечением  графиков функций  у₁ и  y₂  получается ответ

x = 2 .  

6)  (1/3)ˣ= x + 4

у₁   = (1/3)ˣ → (убывающая показательная функция:  0<1/3<1)

{  ... (- 2 ; 9 ) , (-1; 3) , (0 ; 1) ; (1; 1/3) , (2 ; 1/9) ; ...} ∈  графику

у₂ = x + 4→ ( возрастающая линейная функция :  k = 1 > 0)

{ ( - 4 ; 0)  ; (0; 4) .   ||   (-1 ; 3) }

x =  -1 .

а) {x-y-1=0
     {x+y-5=0

х=1+у

1+у+у-5=0

2у=4

у=2

х=1+у=1+2

х=3

 {x-y-2=0
     {x+y-6=0

х=6-у

6-у-у-2=0

-2у=-4

у=2

х=6-у=6-2

х=4

в) {x-y-2=0
     {3x-2y-9=0

х=2+у

3(2+у)-2у-9=0

6+3у-2у-9=0

у=3

х=2+у=2+3

х=5

г) {x-2y-3=0
    {5x+y-4=0

х=3+2у

5x+y-4=0

5(3+2у)+у-4=0

15+10у+у-4=0

11у=-11

у=-1

х=3+2у=3+2(-1)=3-2

х=1

{x+2y-11=0
     {4x-5y+8=0

х=11-2у

4х-5у+8=0

4(11-2у)-5у+8=0

44-8у-5у+8=0

-13у=52

у=-4

х=11-2у=11-2(-4)=11+8

х=19

  {x+4y-2=0

     {3x+8y-2=0 

х=2-4у

3(2-4у)+8у-2=0

6-12у+8у-2=0

-4у=-4

у=1

х=2-4у=2-4*1=2-4

х=-2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть x км/ч - скорость 1-го поезда, y км/ч - скорость 2-го поезда.

Известно, что на половину пути (120 / 2 = 60 км) первый поезд затратил на 2 часа больше, чем второй, т.е. справедливо уравнение: \frac{60}{x}- \frac{60}{y} =2

После встречи поезда едут в разные стороны ровно 1 час и расстояние между ними становится 80 км, т.е. справедливо уравнение: x*1+y*1=80

Получаем систему уравнений:

\left \{ {{ \frac{60}{x} -\frac{60}{y}=2} \atop {x+y=80}} \right. 

\left \{ {{ 60y-60x=2xy} \atop {y=80-x}} \right. 

\left \{ {{ 30(80-x)-30x=x(80-x)} \atop {y=80-x}} \right. 

Отдельно 1-е уравнение:

2400-30x-30x-80x+x^{2}=0

x^{2}-140x+2400=0

\frac{D}{4} =(-70)^{2}-2400=2500

x_{1} =70-50=20

x_{2} =70+50=120

y_{1} =80-20=60

y_{2} =80-120<0 не удовлетворяет усл. задачи, значит, и х = 120 нам не подходит.

Значит, скорость 1-го поезда = 20 км/ч и расстояние от А до В он пройдет за 120/20 = 6 часов.

ответ: 6 часов.