Найдите сумму решений уравнения tg2x * cos2x = sin2x + sin4x, принадлежащих множеству [-п; 2п]

перепишем уравнение, учитывая, что

)

в уравнение (1) выражение находится в знаменателе, поэтому , или   , - целое

или   , - )

сократим в левой части уравнения (1) на :

  , отсюда , отсюда

  , или ,  - целое )

из решений (3) надо исключить значения, равные значениям (2):

  , отсюда

    , сокращая на  , получим

  - нечетные числа 

другими словами принимает только четные значения!

  из условия следует, что  , отсюда

     

таким образом, принимает значения 

видно, что решения (3) уравнения составляют арифметическую прогрессию с первым членом и последним седьмым членом

   

теперь мы можем найти сумму  всех решений уравнения как сумму первых семи членов арифметической прогрессии:  

 

 

 

Пусть число ab=x 10*x+с=x^2-c^2 x^2-10x=c^2+c x^2-10x+25=c^2+c+25 (x-5)^2=c^2+c+25 4(x-5)^2=4*c^2+4c+100 (2*(x-5))^2=(2c+1)^2+99 по формуле разности квадратов: (2x-10-2c-1)*(2x-10+2c+1)=99 тк x> =10 c> =0 (2x-10+2c+1)> =11 99 имеет 3 делителя более или равно 11 : 11,33,99 то есть разложения 9*11 ,3*33 или 99*1. очевидно ,что разность скобок равна : 4с+2 ,то тк c< =9 ,то разность чисел в скобках не более чем 38.что верно для первого и второго варианта. положим что верен первый тогда: 4с+2=11-9=2 с=0 2x-10+2c+1=11 2x=20 x=10 то есть подходит. проверим верно ли это для второго варианта: 4с+2=33-3=30 c=7 2x-10+14+1=11 x=3 однозначное не подходит,а значит x=10 c=0 то есть решение: 100=10^2-0^2

Подсказка выразите углы треугольника  adb  через угол  acb.решение пусть  acb  = 2. тогда acd  =  (180o  - 2) = 90o  -  .поэтому abd  =  acd  = 90o  -  . поскольку  adb   =  acb   = 2, то bad  = 180o  -  adb  -  abd  = 180o  - 2  - (90o  -  ) = 90o  -  , т.е. треугольник  adb   — равнобедренный. следовательно,  ad   =  bd.