Дан тупоугольный треугольник ABC. Точка пересечения D серединных перпендикуляров сторон тупого угла находится на расстоянии 25, 4 см от вершины угла B. Определи расстояние точки D от вершин A и C. DA= см. DC= см.

(2+√5) = 1/8 + 3√5/8 + 15/8 + 5√5/8 = (1/2 + √5/2)³ = (1 + √5)³/8

(2 - √5) = 1/8 - 3√5/8 +15/8 - 5√5/5 = (1/2 - √5/2)³ = (1 - √5)³/ 8

∛(2 + √5) + ∛(2 - √5) = ∛(1 + √5)³/2³ + ∛(1 - √5)³/2³ = (1 + √5)/2 + (1 - √5)/2 = 1/2 - √5/2 + 1/2 + √5/2 = 1

ответ   ОДИН

сделаем по другому

a = 2 + √5

b = 2 - √5

∛(2 + √5) + ∛(2 -√5) = c

∛(a*b) = ∛((2 + √5)(2 - √5)) = ∛(-1) = -1 (формула 1)

a + b = 2 + √5 + 2 - √5 = 4 (формула 2)

∛a + ∛b = c  

∛a = c - ∛b (возводим в куб) (формула 3)

a = c³ - 3c²∛b + 3c∛b² - b

c³ = a + 3c²∛b - 3c∛b² + b = a + b + 3c∛b(c - ∛b) ={ по формуле 2 и 3} = 4 + 3c∛b*∛a = {формула 1} =4 - 3c

c³ + 3c - 4 = 0

c³ + c² + 4c - c² - c - 4 = 0

c²(c - 1) + c(c -1) + 4(c-1) = 0

(c - 1)(c² + c + 4) = 0

вспоминаем что ∛(2 + √5) + ∛(2 -√5) = c

первая скобка c = 1

вторая скобка c² + c + 4 = 0 D=1 - 4*4 = -15 дискриминант отрицательный, действительных решений нет (2 комплексных)

ответ 1

Задача 13.

Пусть боковая сторона трапеции будет x, а высота трапеции - h.

Площадь трапеции (любой) S равна произведению полусуммы оснований
на высоту. То есть,

S = 1/2*(a+k)*h

Выразим высоту h через x и угол alpha (угол при основании трапеции):

h = x*sin(alpha).

Очевидно, что длина основания равна (см. рис.):

a = x * cos(alpha) + k + x * cos(alpha) = 2 * x * cos(alpha)

Выразим отсюда x:

x = (a-k)/(2*cos(alpha))

Подставим х в формулу для высоты:

h = 1/2*(a-k)*sin(alpha)/cos(alpha) = 1/2*(a-k)*tg(alpha)

Возвращаемся к формуле для площади и подставляем в нее h:

S = 1/2*(a+k)*1/2*(a-k)*tg(alpha)

Поскольку (a+k)*(a-k) = a^2-k^2, то

S = 1/4*(a^2-k^2)*tg(alpha) <- ответ :)

p.s. 1/4 = 0.25



Задача 14.

Воспользуемся результатами предыдущей задачи :). alpha - угол
при __большем__ основании.

Высота трапеции h = a*sin(alpha) (теперь у нас x = a просто).

Тогда площадь трапеции S будет равна (приводим подобные члены,
выносим a^2 за скобки и сокращаем 2):

S = 1/2*(a + a*cos(alpha) + a + a*cos(alpha))*a*sin(alpha)
  = a^2*(1+cos(alpha))*sin(alpha)

Однако, в этой задаче в отличие от предыдущей alpha - это угол при
меньшем основании, а не при большем. Для того, чтобы в полученной
формуле перейти к углу к углу при меньшем основании, надо вспомнить,
что cos(180-alpha) = -cos(alpha). Сумма углов в равнобедренной трапеции
при меньшем и большем основаниях равна 180 градусов.

Тогла получаем ответ: S = a^2*(1-cos(alpha))*sin(alpha), alpha - угол
при меньшем основании, как и требуется в задаче.