Разложи на множители k^3−p^2k−pk^2+p^3

(к-р)2.(к+р)

Объяснение:

к2(к-р)-р2(к-р)=(к-р)(к2-р2)=(к-р)(к-р)(к+р)

Запишем уравнение в виде 
x^3 - x - 1 = 3y^2

Для начала посмотрим на остатки от деления на 3. Правая часть делится на 3, тогда и левая часть делится на 3.
1) Если x = 3k, левая часть даёт остаток 0 - 0 - 1 = -1 ~ 2 при делении на 3, так что таких целых корней у уравнения нет.
2) Если x = 3k - 1, остаток левой части равен: -1 + 1 - 1 = -1 ~ 2, опять левая часть не делится на 3.
3) Если x = 3k + 1, остаток левой части равен: 1 - 1 - 1 = -1 ~ 2, снова не делится.

Получили, что при любом значении x левая часть на 3 не делится, а правая делится. Тогда целочисленных решений у данного уравнения нет.

Остатки можно было бы не находить перебором, а заметить, что x^3 - x = (x - 1) x (x + 1) делится на 3.

||x-2|-3x|=2x+2
Подмодульная функция x-2 преобразуется в нуль в точке x=2. При меньших значениях за 2 она отрицательная и положительная для x>2. На основе этого раскрываем внутренний модуль и рассматриваем равенство на каждом из интервалов.
при x∈(-∞;2) x-2<0 и |-x+2-3x|=2x+2⇒|2-4x|=2x+2
Подмодульная функция равна нулю в точке x=1/2. При меньших значениях она знакоположительная, при больших – отрицательная. Раскроем модуль для x<1/2
 2-4x=2x+2⇒6x=0⇒x=0∈(-∞;1/2)
Следующим шагом раскрываем модуль на интервале (1/2;2)
-2+4x=2x+2⇒2x=4⇒x=2∉(1/2;2)
Раскроем внутренний модуль для x>2
|x-2-3x|=2x+2⇒|-2-2x|=2x+2
Подмодульная функция  положительная при x<-1 и отрицательная при x>-1
раскрываем модуль на интервале (2;∞)
2+2x=2x+2⇒x∈(2;∞)
итак, х∈{0;(2;∞)}
.