Скіьки коренів має рівняння: *(використовуючи дослідження функції за до похідної) варіанти відповідей немає жодного кореня; має один корінь ; має два кореня; має три корення

(√3cos2x +sin2x)² =7 +3cos(2x -π/6) ;
очевидно:
cos(2x -π/6) =cos2x*cosπ/6 +sin2x*sinπ/6 =cos2x*√3 /2 +sin2x*1/2 =(√3cos2x+sin2x) /2  ⇒ √3cos2x+sin2x =2cos(2x -π/6) ,  поэтому  производя  замену   t = cos(2x -π/6) ; -1≤ t  ≤1 исходное   уравнение принимает вид:
4t²  -3t -7 =0 ;  D =3² -4*4*(-7) =9 + 112 =121 =11²
t₁ =(3+11) / 8  =  7/4 >1  не решение
t₂ = (3 -11) / 8  = -1 ⇒(обратная замена)
cos(2x -π/6) = -1  ⇒ 2x - π/6 =π +2π*n , n ∈Z ;
x =7π/12 + π*n , n ∈Z .

ответ: 7π/12 + π*n , n ∈Z .

* * * * * * *
√3cos2x +sin2x= 2( (√(3) /2)* cos2x +(1/2)*sin2x )=
2(cos2x*cosπ/6 +sin2x*sinπ/6)=2cos(2x - π/6) 
вообще (формула  вс угла ) :
acosx +bsinx =√(a² +b²)*(a/√(a² +b²) *cosx +b/√(a² +b²)*sinx) =
 √(a² +b²)*(cosα *cosx +sinα*sinx) =√(a² +b²)*cos(x - α) , где α =arcctqa/b 

1)1+64 у в степени 3 = 1 в степени 3 + 6 4 * у в степени 3 = 1 в степени 3 + 4 в степени 3 * у в степени 3 = 1 в степени 3 + ( 4 * у ) в степени 3 = ( 1 + 4 * у ) * ( 1 в квадрате - 1 * 4 * у + ( 4 у ) в квадрате ) = ( 1 + у ) * ( 1 - 4 у + 16 у в квадрате ) 2)125 х в степени 3 - 27 у степени 3 = 5 в степени 3 * х в степени 3 - 3 в степени 3 * у в степени 3 = ( 5 * х ) в степени 3 - ( 3 * у ) в степени 3 = ( 5 * х - 3 * у ) * ( ( 5 * х ) в квадрате + 5 * х * 3 * у + ( 3 * у ) в квадрате ) = (5 х - 3 у ) ( 25 х в квадрате + 15 х у + 9 у в квадрате )