Один катет прямоугольного треугольника ровняется 8см , а другой на 2 меньше от гипотенузы .Найдите площадь треугольника

ответ:60см^2

Составим уравнение гипотенузы: 8^2+(x-2)^2=x^2,где (x-2) катет =>

X=17=>S=(1/2)*8*15=60см^2

Объяснение:

Пусть х см - второй катет

Тогда х+2 см - гипотенуза

По теореме Пифагора х^2+8^2= (х+2)2

х^2+64 = х^2+4х+4

х = (64 -4) / 4

х = 60/4

х = 15

15 см - второй катет

15+2=17 см- гипотенуза

Р = 15+17+8=40 (см)

ответ: 40 см

Формулировка и доказательство теоремы косинусов

Теорема косинусов является обобщением теоремы Пифагора для произвольного треугольника.

Формулировка теоремы косинусов

Для плоского треугольника со сторонами a,b,c и углом α, противолежащим стороне a, справедливо соотношение:

Теорема косинусов

Изображение для пояснения сути теоремы косинусов - квадрат стороны произвольного треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное их произведение на косинус угла между ними

Квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон за вычетом удвоенного их произведения, умноженного на косинус угла между ними

Полезные формулы теоремы косинусов:

Полезные формулы теоремы косинусов - сама теорема, нахождение косинуса угла по трем сторонам и нахождение самого угла по трем сторонам треугольника

Как видно из указанного выше, с теоремы косинусов можно найти не только сторону треугольника по двум сторонам и углу между ними, можно, зная размеры всех сторон треугольника, определить косинусы всех углов, а также вычислить величину любого угла треугольника. Вычисление любого угла треугольника по его сторонам является следствием преобразования формулы теоремы косинусов.

Доказательство теоремы косинусов

Теорема Косинусов

Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Предположим, что нам известна величина стороны AC (она равна некому числу b), величина стороны AB (она равна некому числу c) и угол между этими сторонами, величина которого равна α. Найдем величину стороны BC (обозначив ее длину через переменную a)

Для доказательства теоремы косинусов проведем дополнительные построения. Из вершины C на сторону AB опустим высоту CD.

Найдем длину стороны AB. Как видно из рисунка, в результате дополнительного построения можно сказать, что

AB = AD + BD

Найдем длину отрезка AD. Исходя из того, что треугольник ADC является прямоугольным, нам известны длина его гипотенузы (b) и угол (α) то величину стороны AD можно найти из соотношения его сторон, пользуясь свойствами тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике:

AD / AC = cos α

откуда

AD = AC cos α

AD = b cos α

Длину стороны BD найдем как разность AB и AD:

BD = AB - AD

BD = c − b cos α

Теперь запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

для треугольника BDC

CD2 + BD2 = BC2

для треугольника ADC

CD2 + AD2 = AC2

Обратим внимание на то, что оба треугольника имеют общую сторону - CD. Определим ее длину для каждого треугольника - вынесем ее значение в левую часть выражения, а остальное - в правую.

CD2 = BC2 - BD2

CD2 = AC2 - AD2

Поскольку левые части уравнений (квадрат стороны CD) равны, то приравняем правые части уравнений:

BC2 - BD2 = AC2 - AD2

Исходя из сделанных ранее вычислений, мы уже знаем что:

AD = b cos α

BD = c − b cos α

AC = b (по условию)

А значение стороны BC обозначим как a.

BC = a

(Именно его нам и нужно найти)

Получим:

BC2 - BD2 = AC2 - AD2

Заменим буквенные обозначения сторон на результаты наших вычислений

a2 - ( c − b cos α )2 = b2 - ( b cos α )2

перенесем неизвестное значение (а) на левую сторону, а остальные части уравнения - на правую

a2 = ( c − b cos α )2 + b2 - ( b cos α )2

раскроем скобки

a2 = b2 + c 2 - 2c b cos α + ( b cos α )2 - ( b cos α )2

получаем

a2 = b2 + c 2 - 2bc cos α

Теорема косинусов доказана.

Случай, когда один из углов при основании тупой (и высота падает на продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному.

Киев-древнейший город украины.точная дата основания не известна.по мнению археологов,он появился еще в 6-7 веке нашей эры. расположен на реке днепр.в конце 18в.  население составляло около  30 000  человек.по данным переписи населения  2001 года, в киеве проживало  2 611 300  жителей. в настоящее время численность населения возрастает в среднем на 20 тыс. человек в год. с 1.01.2002  г. по 1.01.2010  г. население киева  на 1 декабря 2013 года в киеве проживает  2 866 516  человека  выросло на  174 тыс. человек. в киеве 27 музеев, 25 театров и театров-студий.киев богат памятниками культуры и искусства. важнейшие из них: золотые ворота,софийский собор  (xi  и мариинский  дворцы.леса, парки и сады составляют больше половины его площади. (и др.)  леса, парки и сады составляют больше половины его площади. на территории города находятся два ботанических сада.