4^-2+(8/3)^-1 найти значение уравнения

7/16

Объяснение:

1) 1 - 3/2*sin(x/2+pi/3) = 0

3/2*sin(x/2+pi/3) = 1

sin(x/2+pi/3) = 2/3

а) x/2 + pi/3 = arcsin(2/3) + 2pi*n

x1 = 2*(-pi/3 + arcsin(2/3) + 2pi*n) = -2pi/3 + 2arcsin(2/3) + 4pi*n

б) x/2 + pi/3 = pi - arcsin(2/3) + 2pi*n

x2 = -2pi/3 + 2pi - 2arcsin(2/3) + 4pi*n = 4pi/3 - 2arcsin(2/3) + 4pi*n

2) 4tg(2x - pi/4) = 1

tg(2x - pi/4) = 1/4

2x - pi/4 = arctg(1/4) + pi*k

x = pi/8 + 1/2*arctg(1/4) + pi/2*k

3) ctg(pi/3 - 1/4*x) = 5/12

tg(pi/3 - x/4) = 12/5

tg(x/4 - pi/3) = -12/5

x/4 - pi/3 = -arctg(12/5) + pi*k

x = 4pi/3 - 4arctg(12/5) + 4pi*k

4) sin x + sin(3x) = 0

2sin(2x)*cos x = 0

а) sin(2x) = 0

2x = pi*k

x1 = pi/2*k

б) cos x = 0

x2 = pi/2 + pi*n

При нечетных k и четных n значения x2 входят в значения x1, поэтому

x = pi/2*k

5) cos(2x) - cos(6x) = 0

-2sin(4x)*sin(-2x) = 2sin(4x)*sin(2x) = 0

а) sin(4x) = 0

4x = pi*k

x1 = pi/4*k

б) sin(2x) = 0

2x = pi*n

x2 = pi/2*n

При четных k и любых n значения x2 входят в значения x1, поэтому

x = pi/4*k

Раз значение выражения должно быть целым числом, то это это значит, что 2n + 12 должно делиться нацело на 2n. 2n + 12 и 2n делятся на 2n. Это значит, что и их разность будет по-прежнему делиться на 2n, то есть (2n + 12) - 2n = 12 делится нацело на 2n. Теперь дело осталось за малым. Очевидно, что 2n - делитель числа 12. Переберём все делители числа 12: 1; -1; 2;-2;3;-3;4;-4;6;-6;12;-12. Сразу можем убрать все отрицательные делители - n по условию натурально. И решим ряд уравнений, откуда найдём n:
2n = 2, n = 1
2n = 3, n = 1.5 - не подходит, так как n натурально.
2n = 4, n = 2
2n = 6, n = 3
2n = 12, n = 6
Итак, при n = 1;2;3;6 выполняется наше условие. Задача решена.